Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$, que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$.

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

$\square$

Determinación de una recta en el espacio vectorial afín R^3, dados dos puntos de la misma

Dados dos puntos de una recta $r$, $A(x_A,y_A,z_A)$ y $B(x_B,y_B,z_B)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicha recta de forma algebraica, esto es, encontrar de diversas maneras, unas ecuaciones que la representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de la recta $r$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP} \propto \overset{\rightarrow}{AB}$ -- ambos vectores tienen la misma dirección, luego son dependientes uno del otro --, existirá un escalar $\lambda$ tal que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ que es una ecuación vectorial de la recta, que, también podemos expresar de la forma $$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})$$ Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $r$, puesto que dependen de un parámetro, $\lambda$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones anteriores, los segundos miembros deberán ser iguales, llegando así a una ecuación de la recta en forma continua $$r\equiv \dfrac{x-x_A}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\dfrac{z-z_A}{z_{B}-z_{A}} \quad \quad(3)$$

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determina el parámetro $\lambda$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $1$, ya que sólo puede haber una ecuación linealmente independiente; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{c|c} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $1$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego los menores complementarios han de ser nulos, así que del orlado de la matriz a partir de algún elemento no nulo de la primera columna, pongamos, sin pérdida de generalidad, que el de la primera fila y primera columna, podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones linealmente independientes, que también determinan la recta $r$, y a las que denominamos ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de dicha recta $$r\equiv \left\{\begin{matrix}(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\ (x_B-x_A)(z-z_A)-(z_B-z_A)(x-x_A)=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (4)$$ Estas dos ecuaciones han de corresponder a las de dos planos cuya intersección es precisamente la recta $r$.

Nota: Démonos cuenta de que estas mismas ecuaciones podemos escribirlas a partir de la doble igualdad de la ecuación de la recta en forma continua (3); y, ciertamente, podríamos escribir una tercera ecuación -- de igual manera que obtendríamos de igualar a cero el tercer menor complementario que se extrae de la matriz ampliada de los coeficientes --, $(y_B-y_A)(y-y_A)-(z_B-z_A)(z-z_A)=0$, pero ésta es una combinación lineal de las otras dos, y, por tanto aporta información redundante, pudiendo prescindir de ella. $\square$

Construcción de una base ortonormal ( que no sea la base canónica ), a partir de dos vectores dados

Se expone en esta grabación un ejercicio de vectores en R^3 en el que, dados dos vectores, se dan dos condiciones para hallar un conjunto de vectores que deben cumplir dos condiciones en relación con los datos, y, para hallarlos, utilizaremos el producto escalar y el producto mixto.

Un ejercicios de análisis de un sistema de ecuaciones lineales, en función de los valores de un parámetro, y resolución para determinados valores del mismo para los cuales el sistema es compatible

Ejemplo de resolución de una ecuación con matrices

Construcción de una base ortonormal del espacio vectorial R^3, distinta de la base canónica

Ángulos que forma un vector u, y su proyección sobre el plano Oxy, con los vectores de la base canónica

NOTA: $\vec{u'}$ es el vector proyección de $\vec{u}=(1,2,5)$ sobre el plano Oxy y por tanto sus coordenadas son $(u_x,u_y,0)$, esto es, $\vec{u'}=(1,2,0)$

Espacio vectorial. Cálculo de vectores que cumplen un conjunto de condiciones

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Tres comerciantes adquieren ordenadores de tres modelos distintos, A, B y C, para su posterior venta. El primero invierte 50000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo C; el segundo comerciante invierte 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo C; y, el tercer comerciante invierte 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 20000 euros en la compra de ordenadores del modelo C. Las rentabilidades que obtienen los tres comerciantes tras la venta de los ordenadores que han adquirido son: el primero un 15%, el segundo un 12% y el tercero un 10%. Calcular las rentabilidades de los modelos de ordenador.

SOLUCIÓN.

La rentabilidad se define como la razón entre los beneficios obtenidos y la inversión realizada, expresándose en tanto por ciento.

Denotemos por $-A$, $r_B$ y $r_C$ las rentabilidades correspondientes a los tres modelos de ordenadores, A, B y C. De acuerdo con la información del enunciado y el significado de rentabilidad, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\left.\begin{matrix}50000\,r_A+25000\,r_B+25000\,r_C=\dfrac{15}{100}\cdot ( 50000+25000+25000) \\ 12500\,r_A+25000\,r_B+12500\,r_C=\dfrac{12}{100}\cdot ( 12500+25000+12500)\\ 10000\,r_A+10000\,r_B+20000\,r_C=\dfrac{10}{100}\cdot ( 10000+10000+20000)\end{matrix}\right\}$

que es compatible determinado. Resolviéndolo obtenemos los siguientes resultados: $$\left.\begin{matrix}r_A=23\,\%\\r_B=11\,\%\\ r_C=3\,\%\end{matrix}\right\}$$
$\square$

Aplicación del desarrollo de Laplace para calcular un determinante de orden arbitrario. Ejemplo con un determinante de orden 4

Resolución de una ecuación con matrices

Discusión del rango de una matriz en función de un parámetro

Matriz inversa asociada a una matriz regular

Matrices idempotentes

Propiedades de los determinantes. Determinante de la matriz inversa.

ENUNCIADO. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ regular ( inversible ). Demuéstrese que $$\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$$
SOLUCIÓN. Sabemos que $I=AA^{-1}=A^{-1}A$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$. Por otra parte, es sabido que dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, $A$ y $B$, $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$. Entonces, $1=\text{det}(I)=\text{det}(AA^{-1})=\text{det}(A)\text{det}(A^{-1})$, luego $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$
$\square$

Cálculo del rango de una matriz m x n por el método de los menores complementarios y aplicación del algoritmo del orlado

Más propiedades de los determinantes ...

Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden $n$ se cumplen las siguientes propiedades, cuya comprobación es sencilla con algunos ejemplos. Demostrar la última, es muy sencillo, pues basta encontrar un contraejemplo:

Una propiedad de los determinantes

Ejemplo:
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}\overset{?}{=}\begin{vmatrix}4+1 & 3 \\ 2+2 & 6\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 6\end{vmatrix}=(24-6)+(6-6)=18$
En efecto,
$\begin{vmatrix}5 & 3 \\ 4 & 6\end{vmatrix}=30-12=18$

Nota: También se cumple con las columnas

Cálculo de determinantes aplicando el desarrollo de Laplace

Cálculo de determinantes ( de orden 2 y 3 ) aplicando la regla de Sarrus

Aproximación al concepto de determinante. Determinante de orden 3 asociado a una matriz cuadrada de orden 3.

Aproximación al concepto de determinante. Determinantes de orden 2 y sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados

Análisis del rango de una matriz en función de un parámetro

Aplicación de la matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

Significado de los elementos de la potencia n-ésima de la matriz de adyacencia de un grafo orientado

Una aplicación de la matriz traspuesta de la matriz de un grafo orientado.

Matrices y grafos

Ejemplos de uso del lenguaje matemático

ENUNCIADO. Exprésese en el lenguaje natural la siguiente proposición $$(\dot{2}) \cap (\dot{3}) = (\dot{6})$$

Nota: Denotamos por $(\dot{n})$ el conjunto de los números enteros múltiplos de $n$, siendo $n$ un número entero.

SOLUCIÓN. La igualdad entre los conjuntos de ambos miembros viene a decir que si para $x\in \mathbb{Z}$ tal que $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$, entonces $x \in (\dot{6})$; y, recíprocamente, si $x \in \mathbb{Z}$ es tal que $x \in (\dot{6})$, entonces $x \in ((\dot{2}) \cap (\dot{3}))$

En el lenguaje natural, tal como se pide, esto se expresa diciendo que todo número entero no negativo que sea múltiplo de $2$ y también de $3$ ha de ser, a su vez, múltiplo de $6$; y, recíprocamente, todo número entero múltiplo de $6$ ha de ser un múltiplo de $2$ y, también, un múltiplo de $3$
$\square$

Otro ejercicio de cálculo de límites

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Cálculo de probabilidades. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. En una empresa, el $40\,\%$ de los trabajadores son mujeres. Se sabe que están haciendo un determinado curso de formación el $20\,\%$ de los varones y el $30\,\%$ de las mujeres, respectivamente. Se elige, al azar, una persona que trabaje en la empresa. Se pide la probabilidad de que:
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación

SOLUCIÓN.

Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"

a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
$\square$

Análisis de funciones reales de una variable real

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$$ Se pide:
a) Las rectas asíntotas, si las hubiese
b) Las abscisas de los puntos de inflexión, de haber alguno
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función y la recta $y=4x$

SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales:
Son del tipo $\text{a.v.}\equiv x=a$, donde $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,f(x) = +\infty $$ o bien $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }\,f(x) = -\infty$$ Estos valores de $a$ son los que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ): $$1-x^2 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ pues, en efecto, se puede comprobar que $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{-}}\,f(x)=+\infty\;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{+}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{-}}\,f(x)=-\infty \;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{+}}\,f(x)=+\infty$$ Así pues, encontramos dos asíntotas verticas: $$\text{a.v.}_1\equiv x=-1$$ y $$\text{a.v.}_2\equiv x=1$$

Asíntotas oblicuas:
Para encontrar las asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$, tendremos que calcular primero la pendiente, $m$:
$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x) \overset{\text{def. equiv.}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{x(1-x^2)}=$
    $=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-\infty}=0$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$:
$\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)- m\,x\right)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x) - 0 \right)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{1-x^2}=0$ ( por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del numerador )
Encontramos pues una asíntota horizontal, como un caso particular de asíntota oblicua con pendiente nula: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
Las abscisas de los puntos de inflexión son las raíces de la función segunda derivada ( condición necesaria ): $$f''(x)=0$$
Derivando una vez la función $f(x)$ obtenemos -- dejo al lector que reproduzca el cálculo rutinario --: $$f'(x)=3\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$

Nota: Démonos cuenta de que esta función no tiene raíces, pues el numerador no se anula para ningún valor de $x$, luego no hay extremos relativos

Y derivando, a su vez, la función primera derivada, llegamos a la función segunda derivada $$f''(x)=-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$ Con lo cual $$-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\Leftrightarrow x=0$$

Si bien no se pide en el enunciado, un bosquejo de la gráfica de la función es el de la figura siguiente:

c)
Los puntos de corte de la gráfica de la función $y=4x$ con la gráfica de la función del integrando $f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$ son las soluciones de la ecuación $$4x = \dfrac{3x}{1-x^2}$$ y, por tanto ( dejo al lector el cálculo elemental ), de $$4x^3-x=0$$ Sacando factor común de $x$ en el primer miembro, vemos que $$x\,(4x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \,\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ Tenemos por tanto tres puntos de corte, cuyas abscisas son $-1/2$, $0$ y $1/2$. Entonces,
$$\displaystyle \mathcal{Área}=\left| \int_{-1/2}^{0}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{0}^{1/2}\,f(x)\,dx \right|\overset{\text{Barrow}}{=}|F(0)-F(-1/2)|+|F(1/2)-F(0)|$$

Calculando la integral definida de $f(x)$ encontraremos una función primitiva $F(x)$: $$\displaystyle \int\,\dfrac{3x}{1-x^2}\,dx = \dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{2\,x\,dx}{1-x^2} = -\dfrac{3}{2}\,\int \,\dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1} = -\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|+C$$ y eligiendo un valor cualquiera para la constante de integración, pongamos que $C:=0$, una función primitiva es $F(x)=-\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|$

Así pues,
$|F(0)-F(-1/2)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|0-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|(-1/2)^2-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
y
$|F(1/2)-F(0)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|(1/2)^2-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|0-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
por tanto,
$\mathcal{Área}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)+\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=2\cdot \dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=$
    $=3\,\ln\,(4/3)\;\text{unidades arbitrarias de área}$
$\square$

Geometría analítica. Espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv x=-y=z$, se pide:
a) La distancia euclídea de $P$ a $r$
b) Considérese el plano $\pi \equiv z=0$, ¿ cuál es la distancia euclídea entre $P$ y $\pi$ ?
c) Considérense los puntos $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,1)$. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos referidos.

SOLUCIÓN.
a)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ es un vector en la dirección de la misma.

Como $r\equiv \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-0}{1}$, tomamos $$\vec{u}:=(1,-1,1) \Rightarrow \left|\vec{u}\right|=\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|=|\sqrt{3}|$$ por otra parte, $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$ con lo cual $$ \overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u} = (1,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=$$
$$=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{k}=(1,0,-1)$$ Nota: $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$
Tenemos pues que $$\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=|\sqrt{2}|$$ Así, de (1), $$d(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right|\;\text{unidades arbitrarias de longitud}$$

b)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \quad \quad (2)$$ donde $A,B,C$ y $D$ son los coeficientes de la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, esto es, en el caso que nos ocupa ( $\pi \equiv z=0$ ): $A=B=D=0$ y $C=1$. Por consiguiente, de (2), $$d(P\,\pi)=\left|\dfrac{0\cdot 1+0\cdot 0 +1\cdot 1+0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\right|=1\;\text{unidades arbitarias de longitud}$$

c)
Hemos visto en clase que el volumen de un tetraedro es igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores que partiendo de uno de sus vértices comprenden las tres aristas del mismo, es decir, una sexta parte del producto mixto de $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$ y $\overset{\rightarrow}{OC}$, esto es $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,[\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC}]\,\right|$$

Nota: Recordemos que el producto mixto de tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$, se suele denotar como $[\vec{a},\vec{b}\,\vec{c}]$ y se define de la forma $\langle \vec{a}\,,\, \vec{b} \times \vec{c} \rangle = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Y teniendo encuenta que $\overset{\rightarrow}{OA}=(2,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{OB}=(0,3,0)$ y $\overset{\rightarrow}{OC}=(0,0,1)$, tenemos que $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}2& 0& 0\\0 & 3 &0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3 \cdot 1=1\;(\text{unidades arbitrarias de longitud})^3$$

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Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$

Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$

$\square$

Un ejercicio de discusión de un sistema de ecuaciones lineales según los valores que pueda tomar un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales en el que figura un un parámetro $a\in \mathbb{R}$ en algunos de sus coeficientes $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&mz&=&1\\x&+&my&+&z&=&0 \\ mx&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase dicho sistema en función de los valores de $a$
b) Resuélvase si $m:=0$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)$
$$\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)$$

Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:

I) Si $m \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|B)=3$, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible

II) Para $m \notin \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3$, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b) Si $m:=0$, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.

Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$

Despejando $z$ de la tercera ecuación llegamos a $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{2}$; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando $x$, se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
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Probabilidad y estadística. Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El $75\,\%$ de los productos fabricados son de tipo A y el $25\,\%$ de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un $5\,\%$ de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un $2,5\,\%$ de las veces.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.

SOLUCIÓN.

Geometría analítica. Espacio euclídeo.

ENUNCIADO. Dados el punto $P(1,1,1)$ y las rectas $$r\equiv \left\{\begin{matrix}2x+y=2\\ 5x+z=6\end{matrix}\right.$$ $$s\equiv \dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{1/3}$$ se pide:
a) Hallar la distancia del punto $P$ a la recta $r$
b) Estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$
c) Hallar el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P$

SOLUCIÓN.

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}$ ( donde se toman sólo los valores positivos de la raíz cuadrada ), se pide:
a) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de $f(x)$
b) Calcular $f'(4)$
c) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $Ox$, y las rectas $x=-1$ y $x=1$

SOLUCIÓN.

Álgebra lineal. Cálculo con matrices.

ENUNCIADO. Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}m&0&2 \\ -2&4&m\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}$, se pide:
a) Obtener los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $A$ admite inversa
b) Para $m=0$, calcular $AB$ y $A^{-1}B$
c) Calcular $BB^{\top}$ y $B^{\top}B$

SOLUCIÓN.

Aplicaciones de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. El $60\,\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\,\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\,\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a) Determínese el porcentaje global de artículos devueltos.
b) ¿ Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados ?

SOLUCIÓN. Consideremos la experiencia aleatoria 'elegir un producto al azar' ( entre todos los productos vendidos en esos almacenes ). Denotemos por $D$ al susceso "elegir un producto de los que se han devuelto", y, por $R$ al suceso "elegir un producto rebajado".

a) Calculemos la probabilidad de que el producto elegido sea de los que han sido devueltos. Esta probabilidad podemos interpretarla ( desde el punto de vista estadístico ) como el porcentaje de productos devueltos ( en el conjunto de productos vendidos ). Entonces, $$P(D)=P\left( (D \cap R ) \cup ( D \cap \bar{R} \right)$$ como los sucesos $D \cap R$ y $D \cap \bar{R}$ son incompatibles, llegamos al resultado del teorema de la probabilidad total, $$P(D)=P(D \cap R ) + P( D \cap \bar{R})$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada, $$P(D)=P(D|R)\cdot P(R)+P(D|\bar{R})\cdot P(\bar{R})$$ Poniendo los datos del problema, llegamos a $$P(D)=\dfrac{15}{100}\cdot \dfrac{60}{100}+\dfrac{8}{100}\cdot (1-\dfrac{60}{100})=\dfrac{61}{500}=0,122$$ resultado que interpretamos como el porcentaje pedido ( porcentaje global de artículos devueltos ), que es, por tanto, del $12\,\%$

b)
Intepretamos la probabilidad $P(R|D)$ como el porcentaje de artículos devueltos que fueron adquiridos con precios rebajados, que, por el teorema de Bayes lo podemos calcular de la manera siguiente $$P(R|D)=\dfrac{P(D|R)\cdot P(R)}{P(D)}$$ Y con los datos del problema, así como con el resultado calculado en el apartado anterior, es igual a $$P(R|D)=\dfrac{(15/100)\cdot (60/100)}{61/500}=\dfrac{45}{61} \approx 74\,\%$$

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Geometría analítica. Espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dados los planos $\pi_1\equiv 4x+6y-12z+1=0$ y $\pi_2\equiv -2x-3y+6z-5=0$, se pide:
a) Calcular el volumen de un cubo que tenga dos de sus caras en dichos planos
b) Para el cuadrado de vértices consecutivos $ABCD$, con $A(2,1,3)$ y $B(1,2,3)$, calcular las coordenadas de los vértices $C$ y $D$, sabiendo que $C$ pertenece a los planos $\pi_2$ y $\pi_3\equiv x-y+z=2$

SOLUCIÓN.

Optimización. Integración.

ENUNCIADO.
a) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes:
    $m_1=0'92$, $m_2=0'94$, $m_3=0'89$, $m_4=0'90$, $m_5=0'91$
Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los errores de los cuadrados sea mínima; es decir, el valor de $x$ para el que la función $$E(x)=(x-m_1)^2+(x-m_2)^2+(x-m_3)^2+(x-m_4)^2+(x-m_5)^2$$ alcanza un mínimo. Calcúlese dicho valor de $x$
b) Aplíquese el método de integración por partes para calcular la integral $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,\ln(x)\,dx$$

SOLUCIÓN.

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&m\,y&&&=&1 \\ -2x&-&(m+1)\,y&+&z&=&-1\\ x&+&(2m-1)\,y&+&(m+2)\,z&=&2+2m \end{matrix}\right.$$
a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$
b) Resolver el sistema en el caso $m=0$

SOLUCIÓN.

Un ejercicio de análisis de funciones. Continuidad, derivación e integración

ENUNCIADO. Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}a+x\,\ln\,x & \text{si}& x > 0 \\ x^2\,e^x & \text{si}& x \le 0 \end{matrix}\right.$$
( donde $\ln$ denota logaritmo neperiano y $a \in \mathbb{R}$ ), se pide:
a) El valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$
b) Calcúlese $f'(x)$ donde sea posible
c) Calcúlese $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a) Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ ( que es el único problemas que puede presentar problemas en ese sentido ) debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=\lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x \quad \quad (1)$$
Es evidente que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x=0$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=a+\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x$
Por otra parte,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x \overset{0\cdot \infty}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{\ln\,x}{1/x}\overset{\infty/\infty \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{(\ln\,x)'}{(1/x)'}=$
  $\displaystyle=\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x=0$
Así pues, de (1), podemos escribir $a+0=0$ luego $a=0$

b) Al no ser continua la función en $x=0$ no es derivable en dicho punto. Por otra parte, la derivada por la izquierda de la función $f(x)$ es $(x^2\,e^x)'=x\,e^x\,(2+x)$; y, la derivada por la derecha de dicha función es $(0+x\,\ln\,x)'=\ln\,x+1$. En resumen, $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}\ln\,x+1&\text{si}&x \succ 0 \\ \\ x\,e^x\,(2+x) &\text{si}&x \prec 0 \end{matrix}\right.$$

c) $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,x^2\,e^x\,dx \overset{(1),(2)}{=}F(0)-F(-1)=$
      $=\left(e^0\,(0-0+2)\right)-\left(e^{-1}\,((-1)^2-2\cdot(-1)+2)\right)=$
        $=2-\dfrac{5}{e}$

Aclaraciones:
(1) Procedemos a calcular una primitiva de la función integrando $x^2\,e^x$, empleando el método de integración por partes ( $\displaystyle \int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$ ): $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx=x^2\,e^x-2\,\int\,x\,e^x\,dx$, donde $u:=x^2$ ( y por tanto $du=2\,x\,dx$ ) y $dv:=e^x\,dx$ ( con lo cual $v=e^x$). A su vez, $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx = x\,e^x-\int e^x\,dx = x\,e^x -e^x = e^x\,(x-1)$; en consecuencia, $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx =x^2\,e^x-2\,e^x\,(x-1)=e^x\,(x^2-2x+2)+C$ y por tanto una función primitiva es $F(x)=e^x\,(x^2-2x+2)$
(2) En este último paso, aplicamos la regla de Barrow
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Un ejercicio sobre el espacio vectorial euclídeo tridimensional

ENUNCIADO. Dado el punto $P(0,1,1)$ y la recta $$r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1} $$
a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$

SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.

Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$

De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$

Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$

Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$

b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
      $=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$

Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$

Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$

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Un ejercicio sobre sistemas lineales homogéneos

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}a\,x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) ¿ Hay algún valor de para el cual el sistema sea incompatible ? ¿ Para qué valores de $a$ la única solución del sistema es la trivial ? ( Razónense todas las respuestas )
b) Resuélvase el sistema para $a=-1$

SOLUCIÓN.
a)

Tratándose de un sistema homogéneo, por lo menos tiene la solución trivial ( $x=y=z=0$ ), luego no puede ser incompatible, sea cual sea el valor de $a$.

Veamos ahora para qué valores de $a$ la única solución de este sistema es la trival.

Para el sistema tenga otras soluciones además de la trivial ( $x=y=z=0$ ), esto es, para que el sistema sea compatible indeterminado el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser menor que el número de incógnitas $n=3$, con lo cual ha de cumplirse que $$\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^3-3a+2=(a-1)\,(a^2+a-2) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -2 \\ \text{ó} \\ a = 1 \end{matrix}\right.$$ Así pues, si $a$ toma valores distintos de $-2$ y $1$, el sistema tiene únicamente la solución trivial $x=y=z=0$

b)
Según lo dicho enel apartado anterior, como $a:=-1 \notin \{-2\,,\,1\}$ el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial: $x=y=z=0$

Nota: Evidentement, podemos comprobar muy fácilmente lo que acabamos de concluir
$\left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ x&-&y&+&z&=0 \\ x&+&y&-&z&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ &&&&2\,z&=0 \\ &&2\,y&&&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} x&&&&&=0 \\ &&y&&&=0 \\ &&&&z&=0 \end{matrix}\right\}$

$\square$

Un ejercicio de aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. A un examen extraordinario se presentan alumnos de los grupos $A$ y $B$, teniendo ambos grupos el mismo número de alumnos. La probabilidad de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{A}$ es de $0,75$ y de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{B}$ es de $0,8$. Una vez realizado el examen, se elige a un alumno al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El alumno haya aprobado
b) Sabiendo que éste ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del grupo $A$ ?

SOLUCIÓN. Al elegir un alumno al azar, denotemos por $A$ al suceso ser del grup $\mathcal{A}$, por $B$ al suceso ser del grupo $\mathcal{B}$, y por Denominemos $X$ al suceso estar aprobado .

a)
Podemos escribir el suceso $X$ de la forma $X=(X\cap A) \cup (X \cap B)$, y como $(X \cap A) \cap (X\cap B)=\emptyset$, llegamos a $$P(X)=P(X \cap A)+P(X \cap B)$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(X)=P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)$$ Teniendo en cuenta que hay el mismo número de alumnos en los dos grupos, $P(A)=P(B)=0,5$; por otra parte, de la información del enunciado, $P(X|A)=0,75$ y $P(X|B)=0,8$ luego $$P(X)=0,75\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5=0,775$$

b)
Teniendo en cuenta que $P(X \cap A)=P(A \cap X)$ y por tanto $$P(X|A)P(A)=P(A|X)P(X)$$ se deduce de ello que $$P(A|X)=\dfrac{P(X|A)P(A)}{P(X)}$$ por lo que, con los datos, nos queda $$P(A|X)=\dfrac{0,75\cdot 0,5}{0,775}\approx 0,4839$$

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Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Una oficina bancaria dispone de dos sistemas de alarma, $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$, que son independientes. La eficacia del sistema $\mathcal{A}$ es del $85\,\%$ y la del sistema $\mathcal{B}$ del $92\,\%$. Calcular la probabilidad de que, en caso de peligro:
a) Funcione al menos una de los dos sistemas de alarma
b) Funcionen ambos sistemas de alarma
c) Funcione un sólo sistema de alarma
d) No funcione ningún sistema de alarma

SOLUCIONES. Denotemos por $A$ el suceso funciona el sistema de alarma $\mathcal{A}$, y por $B$, funciona el sistema de alarma $\mathcal{B}$. Las probabilidades de los sucesos contrarios son $P(\bar{A})=1-0,85$ y $P(\bar{B})=1-0,92$.

a)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B}) \cup (A\cap B)\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A\cap \bar{B})+P(A\cap B)\overset{(2)}{=}$
  $=P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})+P(A)\cdot P(B)=$
    $=0,92\cdot (1-0,85)+0,85\cdot (1-0,92)+0,92\cdot 0,85$
      $=0,988$

Nota: Otra forma de calcularlo es la siguiente
P("funcione algún sistema")=1-P("no funcione ningún sistema")=$1-P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-(1-0,85)\cdot (1-0,92)=0,988$


Aclaraciones:
(1) $(A\cap \bar{B}) \cap (\bar{A}\cap B) = \emptyset$, $(A\cap \bar{B}) \cap (A \cap B) = \emptyset$, $(\bar{A}\cap B) \cap (A \cap B) = \emptyset$
(2) $A$ y $B$ son independientes, luego $\bar{A}$ y $B$; $\bar{A}$ y $\bar{B}$; y, $A$ y $\bar{B}$ también lo son

b)
$P(A \cap B)\overset{(2)}{=} P(A)\cdot P(B)=0,85\cdot 0,92=0,782$

c)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A \cap \bar{B})\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A \cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})=$
  $=(1-0,85)\cdot 0,92+(1-0,92)\cdot 0,85$
    $=0,206$

d)
P("no funcione ningún sistema")=1-P("funcione algún sistema")$\overset{\text{resultado (a)}}{=}1-0,988=0,012$

Nota:
También se puede calcular así:
P("no funcione ningún sistema")=
    $=P(\bar{A}\cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=(1-0,85)\cdot(1-0,92)=0,012$
$\square$

Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIA1DO. Una urna contiene $800$ bolas negras y $500$ bolas blancas. Se extraen al azar $200$ bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcúlese la probabilidad de obtener:
a) Más $150$ bolas blancas
b) Menos de $110$ bolas blancas
c) Un número de bolas blancas comprendido entre $90$ y $170$

SOLUCIÓN.

La distribución binomial de variable aleatoria se adapta perfectamente a este problema ya que las extracciones son independientes y sólo hay dos posibles resultados "bola blanca" o "bola negra" en cada una de las extracciones. Consderemos la variable aleatoria $X$, número de bolas blancas obtenidas en el conjunto de $200$ bolas extraídas, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,200\}$; $X$ sigue pues una distribución $B(n,p)$, donde $n=200$ y $p=\dfrac{500}{1300}=\dfrac{5}{13}$ ( probabilidad de 'éxito' ), con lo cual la probabilidad de 'fracaso' es $q=1-p=\dfrac{8}{13}$

a)
Se pide que calculemos $P\{X\succ 150\}=\displaystyle \sum_{i=151}^{200}\,\binom{200}{i}\,p^i\,(1-p)^{200-i}$; ahora bien, este cálculo es inviable, así que, como alternativa, intentaremos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y$. Veamos si se cumplen los requerimientos para que se pueda hacer eso: en efecto $n\,p=200\cdot \dfrac{5}{13}\succ 5$ y $n\,(1-p)=200\cdot \dfrac{8}{13}\succ 5$. Procedamos pues a realizar la aproximación. Sabemos que la variable aleatoria aproximadora $Y$ siguie una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p$ y $\sigma=|\sqrt{n\,p\,(1-p)}|$, esot es $Y$ sigue una distribución $N(76'92\,,\,6'88)$

Entonces $P\{X\succ 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \succ 150+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\succ \dfrac{150'5-76'92}{6'88}\}$
      $=P\{Z \ge 10'69\}=1-P\{Z\le 10'69\}=1-F(10'69) \approx 1-1=0$

b)
Seguimos, desde luego, con la aproximación por la normal:
$P\{X\prec 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \prec 110+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\le \dfrac{110'5-76'92}{6'88}\}$
      $P\{Z\le 4'88\}=F(4'88)\approx 1$


c)
$P\{90 \prec X \prec 170\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{ 89'5 \prec Y \prec 170'5\} \overset{(3)}{=}$
    $=P\{\dfrac{89'5-76'92}{6'88} \le Z \le \dfrac{170'5-76'92}{6'88}\}=P\{ 1'83 \le Z \le 13'60 \}=$
    $=P\{Z\le 13'60\}-P\{Z \le 1'83\}$
    $=F(13'60)-F(1'83)$
    $=1-0'9664$
    $=0'0336$


Aclaraciones:
(1),(2): Aproximación por la normal y corrección de continuidad ( o de Yates )
(3): tipificación de la variable normal $Y \rightarrow Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$

$\square$

Cálculo de probabilidades. Coincidencias.

ENUNCIADO. Se han reunido $6$ personas que han nacido en el mes de mayo ( el mes de mayo tiene $30$ días ). Calcular la probabilidad de que:
a) Las seis personas hayan nacido en días distintos
b) Al menos dos hayan nacido el mismo día
b) Las seis personas hayan nacido el mismo día

SOLUCIÓN.
a)
Empleando la probabilidad compuesta, la probabilidad de que las $6$ personas hayan nacido en días distintos es $$\dfrac{30}{30}\cdot \dfrac{30-1}{30} \cdot \dfrac{30-2}{30} \cdot \dfrac{30-3}{30} \cdot \dfrac{30-4}{30} \cdot \dfrac{30-5}{30} = \dfrac{2639}{4500} \approx 0,5864 $$

Nota: Otra forma de calcularlo consiste en emplear la combinatoria y la regla de Laplace $\dfrac{\text{V}_{30,6}}{\text{VR}_{30,6}}= \dfrac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{30^6}=\dfrac{2639}{4500}$

b)
El suceso contrario de nadie haya nacido el mismo día que los demás ( calculado en el apartado anterior ) es el de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día, en consecuencia la probabilidad de que al menos dos personas coincidan en el día es $$1- \dfrac{2639}{4500}=\dfrac{1861}{4500} \approx 0,4136$$

c)
Desde luego, hay $30$ posibilidades ($6$-tuplas) de escoger el día que coincidan en el nacimiento, y $\text{VR}_{30,6}=30^6$   $6$-tuplas que describen todas las posibilidades, luego por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{30}{30^6}=\dfrac{1}{30^5} \approx 4,1\times 10^{-8}$$

Nota:
El conjunto de 6-tuplas que describen los días en los que nacen las 6 personas tiene $30^6$ elementos

[P1| P2| P3| P4| P5|P6]
-----------------------
[1 | 1 | 1 | 1 | 1 |1 ]
[1 | 2 | 2 | 1 | 3 |1 ]
[10|28 | 1 | 1 |30 |11]
...

$\square$

EvAU 2018, UAM

Os recuerdo que siguiendo este enlace de la UAM podéis informaros sobre las EvAU. Echad un vistazo a la tipología de los exámenes. Os deseo mucha suerte a los que os presentéis.

Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIADO. Una fábrica produce un cierto tipo de dispositivos electrónicos. Por el control de calidad, se sabe que el $3\,\%$ de los dispositivos producidos son defectuosos. Se eligen al azar $500$ de los dispositivos fabricados. ¿ Cuál es la probabilidad de que a los sumo $20$ sean defectuosos ?.

SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", $X$, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,20\}$, sigue una distribución binomial $B(n\,,\,p)$, donde $n=500$ y $p=\dfrac{3}{100}$ ( luego $q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100}$ )

Entonces, $P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472$

Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y$. Como $n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5$ y $n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5$, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial $X$ ( que es $B(n,p)$ ) tomaremos pues una variable normal $Y$ que es $N(np,|\sqrt{npq}|)$, esto es la variable $Y$ que es $N(15\,,\,3'8144)$. Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de $Y$, esto es sumamos a $20$ media unidad, pasando por tanto a $20+0'5 = 20'5$.

(2) Tipificando la variable $Y$, mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}$, siendo $Z$ una distribución $N(0,1)$, podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ para calcular el área bajo la curva de la función de densidad $f(z)$ desde $-\infty$ hasta $k$, es decir $P\{Z\le k\}$, que es igual a la función de distribución en $k$, esto es $P\{Z\le k\}=F(k)$. Así pues la abscisa de $Y$, $20'5$, se transforma en $\dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419$ que es la abscisa correspondiente a $Z$, con cuyo valor entraremos en las tablas.

(3) La abscisa $1'4419$ ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores $1'44$ y $1'45$, que son los más próximos a $1'4419$, por defecto y por exceso:

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,44   | 0'9521
1,45   | 0'9265
1,67   | 0'9525
1,4419 | F(1'4419)
-------------------

$$\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}$$ por tanto $$F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472$$

$\square$

Cálculos con la distribución binomial

ENUNCIADO. Un $5\,\%$ de las piezas mecanizadas en una cierta máquina herramienta resultan ser defectuosas. Calcúlese la probabilidad de que eligiendo al azar $20$ de las piezas mecanizadas aparezcan:
a) $3$ piezas defectuosas, exactamente
b) A lo sumo $3$ piezas defectuosas

SOLUCIÓN.
La variable "número de piezas defectuosas", $X$, toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,20\}$ y sigue una distribución binomial $B(n,p)$ con $n=20$ y $p=\dfrac{1}{20}$ ( con $q\equiv 1-p=\dfrac{19}{20}$ )

Entonces:
a) $$\displaystyle P\{X=3\}=\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'0596$$

b)
$$\displaystyle P\{X\le 3\}=\sum_{i=0}^{3}\binom{20}{i}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{i}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-i}=$$
  $\displaystyle=\binom{20}{0}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{0}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-0}+\binom{20}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{1}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-1}+$
          $\displaystyle+\binom{20}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-2}+\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'9841$

$\square$

Cálculos básicos con la distribución normal

ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal $N(16\,,\,2)$. Calcúlense las siguientes probabilidades:
a) $P\{X\le 18\}$
b) $P\{X\ge 14\}$
c) $P\{15\le X\le 17\}$
d) $P\{17\le X \le 18\}$


SOLUCIÓN.
a)
$P\{X\le 18\}\overset{(1)}{=}P\{Z\le 1\}=F(1)\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$

Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, luego $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$

-oOo-

b)
$P\{X\ge 14\}\overset{2}{=}1-P\{X \le 14 \} \overset{(3)}{=}1-P\{Z \le -1\}=$
  $=1-(1-P\{Z \le 1\})=P\{Z\le 1\} =F(1) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$

Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces $14 \rightarrow \dfrac{14-16}{2}=-1$

-oOo-

c)
$P\{15\le X\le 17\}\overset{(2)}{=}P\{X \le 17 \}-P\{X \le 15 \} \overset{(3)}{=}P\{Z \le 0'5\}-P\{Z \le -0'5\}\overset{(4)}{=}$
  $=P\{Z \le 0'5\}-(1-P\{Z \le 0'5\}) =2\,P\{Z \le 0'5\}-1=2\,F(0'5)-1 \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}$
    $=2\cdot 0'6915-1=0,3830$

Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
    $15 \rightarrow \dfrac{15-16}{2}=-0'5$
(4) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$

-oOo-
d)
$P\{17\le X\le 18\}\overset{(5)}{=}P\{X \le 18 \}-P\{X \le 17 \} \overset{(6)}{=}P\{Z \le 1\}-P\{Z \le 0'5\}=$
  $=F(1)-F(0'5) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=} 0'8413-0'6915$
    $=0'1498$

Aclaraciones:
(5) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(6) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
    $17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$

$\square$

Cálculos con la distribución normal

ENUNCIADO. La edad de los individuos de una población se ajusta a una distribución de probabilidad normal, de media $27$ años y desviación estándard de $1,8$ años. ¿ Qué tanto por ciento de la población tiene una edad comprendida entre $25$ y $30$ años ?. Si se eligen al azar $230$ individuos de dicha población, ¿ cuántos de ellos se espera que estén en esa franja de edad ?.

SOLUCIÓN.

$P\{25\le X \le 30\}=P\{X \le 30 \}-P\{X \le 25 \}=$

  $\overset{(1)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-P\{Z \le -1'1111\}=$

  $\overset{(2)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-(1-P\{Z \le 1'1111\}) =P\{Z \le 1'6667\}+P\{Z\le 1'1111\}-1$

    $=F(1'6667)+F(1'1111)-1 =$

    $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)\,,\,(3)}{=}0'9522+0'8667-1$

    $=0'8189$


Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-27}{1'8}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $17 \rightarrow \dfrac{30-27}{1'8}=1'6667$
    $15 \rightarrow \dfrac{25-27}{1'8}=-1'1111$
(2) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
(3) Interpolación lineal entre los valores que figuran en la tabla:

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,67   | 0'9525
1,66   | 0'9515
1,67   | 0'9525
1,6667 | F(1'6667)
-------------------

$\dfrac{F(1'6667)-0'9515}{0'9515-0'9525}=\dfrac{1'6667-1'66}{1'66-1'67} \Rightarrow F(1'6667)=$

  $=\dfrac{(1'6667-1'66)\cdot (0'9515-0'9525)}{1'66-1'67}+0'9515 \approx 0'9522$

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,11   | 0'8665
1,12   | 0'8686
1,67   | 0'9525
1,1111 | F(1'1111)
-------------------

$\dfrac{F(1'1111)-0'8686}{0'8686-0'8665}=\dfrac{1'1111-1'12}{1'12-1'11} \Rightarrow F(1'1111)=$

  $=\dfrac{(1'1111-1'12)\cdot (0'8686-0'8665)}{1'12-1'11}+0'8686 \approx 0'8667$

En consecuencia, de los $230$ individuos que se han elegido ( al azar ), $0'8667 \cdot 230 \approx 199$ se espera que se encuentren en la franja de edad pedida.

$\square$

Más cálculos con la distribución normal tipificada

ENUNCIADO. Siendo $Z$ una variable normal tipificada ( $Z$ siguie la distribución $N(0,1)$ ), calcúlese $$P\{|Z+1|\ge 2\}$$

Tengamos en cuenta que $|Z+1|\ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}Z+1 \ge 2 & \text{si} & Z+1 \ge 0 & \rightarrow & Z \ge 1 \\ \text{ó} \\ -(Z+1) \ge 2 & \text{si} & Z+1 \prec 0 & \rightarrow & Z \le -3 \end{matrix}\right.$

por consiguiente,

$P\{|Z+1|\ge 2\}=P\{Z \le -3\}+P\{Z \ge 1\}=$
      $=(1-P\{Z \le 3\})-(1-P\{Z \le 1\})$
        $=2-P\{Z \le 3\}-P\{Z \le 1\}$
        $=2-F(3)-F(1)$
          $\overset{(1)}{=}2-0,9987-0,8413$
            $=0,16$

(1) Consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$
$\square$

Un ejercicio de cálculo con la distribución normal

ENUNCIADO. Siendo $Z$ una variable normal tipificada ( $Z$ siguie la distribución $N(0,1)$ ), calcúlese $$P\{|Z-1|\le 1,5\}$$

Tengamos en cuenta que $|Z-1|\le 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}Z-1 \le 1,5 & \text{si} & Z-1 \ge 0 & \rightarrow & Z-1\le 1,5 \\ \text{ó} \\ -(Z-1) \le 1,5 & \text{si} & Z-1 \prec 0 & \rightarrow & Z-1\ge -1,5 \end{matrix}\right.$
por consiguiente,
$P\{|Z-1|\le 1,5\}=P\{-1,5 \le Z-1 \le 1,5\}=P\{-0,5 \le Z \le 2,5\}=$
  $=P\{Z \le 2,5\}-P\{Z \le -0,5\}$
    $=P\{Z \le 2,5\}-P\{Z \ge 0,5\}$
      $=P\{Z \le 2,5\}-(1-P\{Z \prec 0,5\})$
        $=P\{Z \le 2,5\}+P\{Z \prec 0,5\}-1$
        $=F(2,5)+F(0,5)-1$
          $\overset{(1)}{=}0,9938+0,6915-1$
            $=0,6853$

(1) Consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$
$\square$

Cálculo de probabilidades con la distribución de probabilidad normal

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu=5$ y desviación típica $\sigma=2$, lo cual denotamos por $X \sim N(5,2)$. Se pide:

    a) $P\{X \le 2'1\}$

    b) $P\{\left|X\right| \le 3'4\}$

    c) $P\{\left|X\right| \ge 3'4\}$

Observación:
Teniendo en cuenta que $X$ es una v.a. continua, es irrelevante utilizar desigualdades estrictas o débiles puesto que la probabilidad de un valor puntual, $X=k$, es cero; en otras palabras, como
$P\{X=k\}=0$, entonces podemos escribir $P\{X\le k\}=P\{X \prec k\}$ y $P\{X\ge k\}=P\{X \succ k\}$

Resolución:
a)   Tipificando la variable $X$ por medio del cambio
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podemos trabajar con una distribución normal $Z \sim N(0,1)$ ( distribución normal centrada, es decir, de media igual a $0$, y con desviación típica igual a $1$ ) con lo cual podremos utilizar las tablas de dicha distribución de probabilidad.

Entonces
si $X=2,1$
$Z=\dfrac{2'1-5}{2}$
    $=-1,45$
es decir
$P\{X \le 2'1\} = P\{Z \le -1'45\}$
y, atendiendo a la simetría de la función de densidad de probabilidad $f(z)$, podemos escribir
$P\{Z \le -1,45\}= 1-P\{Z \le 1'45\}$

A continuación, leemos en las tablas $N(0,1)$ que el valor de la función de distribución de probabilidad para $z=1'45$ es $F(0'45)=0'9265$, que es el valor de la probabilidad acumulada al barrer el área bajo la curva de la función $f(z)$, desde $-\infty$ hasta $1'45$, luego $P\{Z \le 1'45\}=0'9265$, luego $1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

es decir
$P\{X \le 2'1\}=P\{Z \le -1'45\}=1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

-oOo-

b)   Trabajaremos (como en el apartado anterior) con la v.a. normal estándar o tipificada $Z$ y, para ello, debemos hacer el cambio de variable habitual:
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

Para $X=3'4$, el valor que le corresponde con la tipificación es
$\dfrac{3'4-5}{2}=-0'8$
y a $X=-3'4$ le corresponde el valor
$\dfrac{-3'4-5}{2}=-4'2$


luego
$P\{| X | \le 3'4 \}=P\{ -3'4 \le X \le 3'4 \}=P\{ X \le 3'4 \} -P\{ X \le -3'4 \}=$
      $=P\{Z\le -0'8\}-P\{Z \le -4'2\}$
      $=(1-P\{Z\le 0'8\})-(1-P\{Z\le 4'2\})$
      $=P\{Z\le 4'2\}-P\{Z\le 0'8\}$
      $=F(4'2)-F(0'8)$
      $=1-0'7881$
      $=0'2119$

-oOo-
c)  
$P\{\left|X\right| \ge 3'4\}=P\{X \ge 3'4\}+P\{X \le -3'4\}=$
      $=P\{Z\ge -0'8\}+P\{Z\ge -4'2\}$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+(1-1)$
      $=1-P\{Z \le -0'8\}$
      $=1-(1-P\{Z \le 0'8\})$
      $=P\{Z \le 0'8\}$
      $=F(0'8)$
      $=0'7881$

Y, de manera equivalente, también se llega al mismo resultado haciendo los siguientes pasos:
$P\{\left|X\right| \ge 3'4\}=P\{X \ge 3'4\}+P\{X \le -3'4\}=$
      $=(1-P\{X \le 3'4\})+P\{X \le -3'4\}$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+P\{Z \le -4'2\}$
      $=\big(1-(1-P\{Z \le 0'8\})\big)+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=(1-1+P\{Z \le 0'8\})+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=P\{Z \le 0'8\}+(1-1)$
      $=P\{Z \le 0'8\}$
      $=F(0'8)$
      $=0'7881$

$\square$

Un ejercicio sobre distribuciones de probabilidad discretas

ENUNCIADO. Considérese la siguiente distribución de probabilidad discreta:

valor es de la variable aleatoria  |  probabilidad
----------------------------------------------------
                1                  |      0,05
                2                  |      0,3
                3                  |      0,4
                4                  |      0,2
                5                  |      0,05

Se pide:
a) Compruébese que la distribución está bien definida
b) Calcular $P\{X\le 3\}$
c) Calcular $P\{X \succ 2\})$
d) Calcular el valor de la media $\mu$
e) Calcular el valor de la desviación estándar $\sigma$

SOLUCIÓN.

a)
Veamos que se cumplen las condiciones para que la distribución de probabilidad esté bien definida:
i) $p_i \ge 0$ para todo valor de la variable aleatoria
ii) $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i\overset{\text{?}}{=}1$, en efecto $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i = 0,05+0,3+0,4+0,2+0,05 = 1$

b)
$P\{X\ge 3\}=P\{X = 1\}+P\{X = 2\}+P\{X = 3\}=$
                    $=0,05+0,3+0,4=$
                        $=0,65$

c)
$P\{X \succ 2\}=1-\left(P\{X=1\}+P\{X=2\}\right)=$
    $=1-(0,05+0,3)$
      $=0,65$


d)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_{i}\,p_{i} =$
                    $=1\cdot 0,05+2\cdot 0,3+3\cdot 0,4+4\cdot 0,2+5\cdot 0,05=$
                        $=2,9$

e)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,(x_{i}-\mu)^{2}\,p_i}\overset{\text{propiedad}}{=}\sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,\left(x^{2}_{i}\,p_{i}\right)-\mu^2}$
                    $=\sqrt{(1^2\cdot 0,05+2^2\cdot 0,3+3^2\cdot 0,4+4^2\cdot 0,2+5^2\cdot 0,05)-2,9^2}$
                        $\approx 0,9434$

$\square$

Ejercicios sobre modelos de variable aleatoria

ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria continua, $X$, cuya función de densidad de probabilidad ( función de cuantía ) es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{5}&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}}\\0&\text{si}&x \notin [1,6]\subset{\mathbb{R}}\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Compruébese que $f(x)$ cumple las condiciones para que sea una función de densidad y represéntese la gráfica de $f(x)$
b) Determínese la función de distribución de probabilidad $F(x)$ asociada a $f(x)$ y represéntese su gráfica
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que $X$ tome exactamente el valor $4$ ? ¿ y de que tome exactamente el valor $3$ ?
d) Calcúlese $P\{3 \le X \le 4\}$
e) Calcúlese la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$


SOLUCIÓN.
a)
Se cumplen las dos condiciones para que $f(x)$ sea una función de densidad:
  i) $f(x) \ge 0$ para todo valor de $x$ perteneciente al dominio de definición de la variable aleatoria $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$
  ii) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx \overset{\text{?}}{=} 1 $; en efecto,
        $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{1}{5}\,dx=\left[\dfrac{x}{5}\right]_{1}^{6}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}=1$

b)
Teniendo en cuenta que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es tal que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,x+C&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$ Falta determinar el valor de la constante de integración; teniendo en cuenta que $f(x)=0$ para $x\le 1$ y para $x\ge 6$, de una u otra condición indistintamente, se deduce que el valor de la misma; en efecto, sabemos que $F(1)=0$, y, por otra parte, $F(1)=\dfrac{1}{5}+C$, luego $\dfrac{1}{5}+C=0$, de donde se deduce que $C=-\dfrac{1}{5}$. De la misma manera, $F(6)=1=\dfrac{1}{5}\cdot 6+C \Rightarrow C=1-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{1}{5}$
En consecuencia, $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,(x-1)&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$

c)
Como la distribución es continua, $P\{X=3\}=P\{X=4\}=0$

d)
$P\{3 \le X \le 4\}=P\{X \le 4\}-P\{X \prec 3\}=P\{X \le 4\}-P\{X \le 3\}=$
  $=\displaystyle \int_{-\infty}^{4}\,f(x)\,dx-\int_{-\infty}^{3}\,f(x)\,dx=F(4)-F(3)=$
    $=\dfrac{1}{5}\,(4-1)-\dfrac{1}{5}\,(3-1)=\dfrac{1}{5}\,(3-2)=\dfrac{1}{5}$


e)
$\displaystyle \mu \overset{\text{def}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\,x\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{x}{5}\,dx=\left[\dfrac{x^2}{10}\right]=\dfrac{6^2}{10}-\dfrac{1^2}{10}=\dfrac{7}{2}$


$\displaystyle \sigma \overset{\text{def}}{=} \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\,(x-\mu)^2\,f(x)\,dx} \overset{\text{propiedad}}{=} \sqrt{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\,x^2\,f(x)\,dx\right)-\mu^2}$
  $\displaystyle =\sqrt{\left(\int_{1}^{6}\,\dfrac{x^2}{5}\,dx\right)-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\left[\dfrac{x^3}{15}\right]_{1}^{6}-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=$
    $\displaystyle =\sqrt{\dfrac{43}{3}-\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{12}}=\dfrac{5}{2\,\sqrt{3}}$

$\square$

Otro ejercicio de cálculo ( básico ) de probabilidades

ENUNCIADO. Una urna contine $3$ bolas blancas, $4$ verdes y $5$ rojas. Se extraen tres bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcular la probabilidad que obtener exactamente $2$ bolas blancas y $1$ bola verde.

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso pedido. Entonces, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{N(A)}{N}$, donde $N(A)=\text{PR}_{3}^{2,1}\cdot \text{VR}_{3,2}\cdot \text{VR}_{4,1}\cdot \text{VR}_{5,0}=108$ y $N=\text{VR}_{3+4+5,3}=12^3=1728$

Sustituyendo los datos y haciendo los cálculos, $P(A)=\dfrac{1}{16}$

-oOo-
Otra forma de enfocar el problema consiste en verlo como un caso de probabilidad multinomial ( pruebas repetidas independientes con más de dos posibles resultados en cada realización ), por tanto
$$P(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)!}{x_{1}!\,x_{2}!\,x_{3}!\,x_{4}!}\,p_{1}^{x_1}\,p_{1}^{x_2}\,p_{2}^{x_2}\,p_{3}^{x_3}$$ en nuestro caso, con $x_1=3$, $x_2=1$ y $x_3=0$, siendo $p_1=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$, $p_{2}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ y $p_{3}=\dfrac{5}{12}$; en consecuencia,

$$P(3,1,0)=\dfrac{(3+1+0)!}{3!\cdot 1!\cdot 0!}\cdot (\dfrac{1}{4})^3\cdot (\dfrac{1}{3})^1\cdot (\dfrac{5}{12})^0 = \dfrac{1}{16}$$

  $\square$

Un ejercicio acerca de un modelo de población

ENUNCIADO. Un cierto modelo de población proporciona la siguiente función de variación instantánea $$f(x)=x+1$$ donde los valores de dicha función se expresan en decenas de individuos / año; y, los valores de $x$, en años, siendo $0 \le x \le 10$ años.

Se pide:

a) La función $F(x)$ que da el número de decenas de individuos de la población que hay cada año $x$, sabiendo que la población en el primer año, $x=0$, fue de $2$ decenas de individuos. ¿ Cántas decenas de individuos hubo en el undécimo año ( $x=10$ ) ?

b) La tasa de variación relativa de la población entre el quinto año ( $x=4$ ) y el séptimo año ( $x=6$ ), expresada en tanto por ciento.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta el significado de las funciones $f$ y $F$ ( la segunda es una primitiva de la primera ) , podemos escribir que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx = \displaystyle \int \,(x+1)\,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2+x+C$ y como $F(0)=2$, tenemos que $2=\dfrac{1}{2}\cdot 0 +0+C \Rightarrow C=2$, con lo cual $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+x+2$. Así que $F(10)=\dfrac{1}{2}\cdot 10^2+10+2 = 62$ decenas de individuos.

b)
Primero, calcularemos a variación absoluta entre el tercer y el quinto año:
$$\displaystyle \left|\int_{4}^{6}\,(x+1)\,dx\right| \overset{\text{Barrow}}{=} F(6)-F(4)=$$
    $= \left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot 6^2+6+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2+4+2\right)\right|=12\, \text{decenas de individuos}$

Y, finalmente, a partir de la variación absoluta y del valor inicial, calculamos la variación relativa $$\dfrac{\left|F(6)-F(4)\right|}{|F(4)|}=\dfrac{12}{\frac{1}{2}\cdot 4^2+4+2}=\dfrac{6}{7}\approx 86\,\%$$

$\square$

Cálculo de integrales definidas

ENUNCIADO. Calcúlese la integral definida $$\displaystyle \int_{-2}^{2}\,f(x)\,dx$$ donde $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1 & \text{si} & x \prec 0 \\ -x+3 & \text{si} & x \ge 0\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
$\displaystyle \int_{-2}^{2}\,f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}\,(x^2+1)\,dx+\int_{0}^{2}\,(-x+3)\,dx=$
    $=\left[\dfrac{1}{3}\,x^3+x\right]_{-2}^{0}+\left[-\dfrac{1}{2}\,x^2+3x\right]_{0}^{2}=$
        $=\left(\dfrac{1}{3}\,0^3+0\right)-\left(\dfrac{1}{3}\,(-2)^3+(-2)\right)+\left(-\dfrac{1}{2}\,2^2+3\cdot 2\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\,0^2+3\cdot 0\right)=\dfrac{26}{3}$
$\square$

Cálculo del área de una región del plano delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+2x^2-x-2$ y $g(x)=x+2$


SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3+2x^2-2x-4=0$$ esto es $$(x-(-2))(x-(-|\sqrt{2}|))(x-|\sqrt{2}|)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-2 \\ x_2=-|\sqrt{2}| \\ x_3=|\sqrt{2}| \end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-2}^{-|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|+\left| \int_{-|\sqrt{2}|}^{|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|$$ Una función primitiva asociada a la función $f(x)-g(x)=x^3+2x^2-2x-4$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{2}{3}\,x^3-x^2-4x$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left|F(-2)-F(-|\sqrt{2}|)\right|+\left|F(|\sqrt{2}|)-F(-|\sqrt{2}|)\right|=$
      $\ldots=\dfrac{24\,|\sqrt{2}|-11}{3}\,\text{unidades de área}$
$\square$

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
      a) $\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}$       b) $\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
El polinomio del denominador se puede factorizar de la forma $x\,(x-1)^2$, así pues, $$\dfrac{1}{x\,(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}
+\dfrac{C}{(x-1)^2}$$ por lo que deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A&+&B&&&=&0 \\ -2A&-&B&+&C&=&0 \\ A&&&&&=&1\end{matrix} \right.$$ cuya solución es $$\left\{\begin{matrix}A&&&&&=&1 \\ &&B&&&=&-1 \\ &&&&C&=&1\end{matrix} \right.$$ Entonces podemos escribir que
$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}=\int\,\dfrac{dx}{x}+\int\,\dfrac{(-1)\,dx}{x-1}+\int\,\dfrac{dx}{(x-1)^2}\overset{\text{integrales inmediatas}}{=}$
$$=\ln\,|x|-\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$$

b)
$\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx=\int \, \dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}\,x\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C\overset{(2)}{=}\ln \,(|\sin\,x|) + C$

(1): Cambio de variable $t:=\sin\,x$, luego $dt=\cos\,x\,dx$
(2): Deshaciendo el cambio de variable (1)

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen de forma sucesiva y sin reemplazamiento tres cartas de una baraja española compuesta de 40 cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que las tres sean del mismo palo [Nota: en una baraja española hay 4 palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
Vamos a resolver el problema de dos maneras distintas, llegando, claro está, a la misma solución. La primera, corresponde al método directo de aplicación de la combinatoria y la regla de Laplace, y la segunda, a un proceso constructivo, sencillo y eficiente.

Procedimiento I.
Hay $\binom{4}{3}$ posibilidades a la hora de escoger los tres palos, y para cada uno de ellos $\text{V}_{10,3}$ maneras de escoger tres cartas distintas de un mismo palo, por lo que el números de casos favorables al suceso pedido es igual a $\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}$. Por otra parte, en total, tenemos $\text{V}_{40,3}$ posibilidades de escoger tres cartas cualesquiera. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es igual a $$\dfrac{\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}}{\text{V}_{40,3}}=\dfrac{4\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{40\cdot 39 \cdot 38}=\dfrac{12}{247} \approx 0,0486$$

-oOo-
Procedimiento II.
Otra forma de pensar el problema pasa por aplicar la probabilidad compuesta, considerando por tanto las situaciones precedentes que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$. Ahora bien, como no sólo podemos elegir el palo de bastos sino cualquiera de los cuatro, el número de maneras de elegir palo es $4$, con lo cual, la probabilidad pedida es $4\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$ que es igual a la calculada mediante el método directo: $$\dfrac{12}{247}$$

$\square$

Cálculos de probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Sucesos incompatibles.

ENUNCIADO. Considérense dos sucesos $A$ y $B$ asociados a una cierta experiencia aleatoria tales que $P(B)=\dfrac{1}{3}$, $P(A)=\dfrac{2}{5}$ y $P(\bar{A}|B)=\dfrac{2}{3}$. Averígüese si:
a) Averígüese si $A$ y $B$ son independientes
b) Averígüese si $A$ y $B$ son incompatibles
c) Calcúlese $P(A|\bar{B})$
d) Calcúlese $P(A \cup B)$

SOLUCIÓN.
a) Sabemos que $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$. Veamos si se cumple la condición necesaria; como $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$, tenemos que $P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)$, esto es, $P(A|B)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \neq P(A)$, en consecuencia $A$ y $B$ no son independientes.

b) Para que $A$ y $B$ sean incompatibles se ha de cumplir que $P(A \cap B)=0$; sin embargo, $P(A\cap B)\overset{\text{def}}{=}P(A|B)P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}\neq 0$, luego $A$ y $B$ no son incompatibles.

c) $P(A|\bar{B})\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\dfrac{2/5-1/9}{1-1/3}=\dfrac{13}{20}$

d) $P(A \cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{28}{45}$

$\square$

Cálculo de probabilidades. Extracciones sucesivas con reemplazamiento.

ENUNCIADO. Extraemos de forma sucesiva y con reposición ( con reemplazamiento ) $5$ cartas de una baraja española de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). ¿ Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo $3$ figuras ? [Nota: Una figura puede ser sota, caballo o bien rey]

SOLUCIÓN. La probabilidad de obtener figura es $p=\dfrac{3\cdot 4}{40}=\dfrac{3}{10}$ y por tanto la probabilidad de obtener una carta que no sea figura es $1-p=\dfrac{7}{10}$.

Entonces, la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $3$ figuras y $2$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2$$ ( aplicando la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta que hay $\binom{5}{3}$ maneras de disponer tres figuras en un grupo de cinco cartas, sin que importe el orden ); la probabilidad de que obtengamos exactamente $2$ figuras y $3$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3$$ la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $1$ figura y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4$$ y la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $0$ figuras y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5$$

En consecuencia la probabilidad de obtener como máximo ( a lo sumo ) tres figuras es igual a la suma de esas probabilidades
$$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2+\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3+\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4+\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5 \approx 0,9692$$ $\square$

Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

Sobre una enfermedad infecciosa asintomática se sabe que la tiene un $4\,\%$ de la población. Un cierto test de diagnóstico es capaz de detectar la infección en el $95\,\%$ de las personas que están realmente infectadas, pero da como infectadas a un $5\,\%$ de las personas que en realidad no lo están. Calcular la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) Dé positivo en el test
b) Habiendo dado positivo en el test, no tenga la enfermedad ( falso positivo )
c) Habiendo dado positivo en el test, tenga la enfermedad

SOLUCIÓN.
a)
Una partición del espacio muestral $\Omega$ (asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona al azar') viene dada por $\{E,\bar{E}\}$, donde $E$ representa el suceso "tener la enfermedad" y $\bar{E}$ el suceso "no tener la enfermedad". Sea $D$ el suceso, "dar positivo en el test". Entonces, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir $$P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|\bar{E})P(\bar{E})$$ así que, poniendo los datos del problema, encontramos $$P(D)=0,95\cdot 0,04+0,05\cdot (1-0,04)=0,086$$

b)
Aplicando el teorema de Bayes, $$P(\bar{E}|D)=\dfrac{P(D|\bar{E})P(\bar{E})}{P(D)}= \dfrac{0,05\cdot (1-0,04)}{0,086}=0,5581$$

c)
$$P(E|D)=1-P(\bar{E}|D)=1-0,5581=0,4419$$ que, de forma alternativa, también podemos calcular aplicando, otra vez, el teorema de Bayes: $$P(E|D)=\dfrac{P(D|E)P(E)}{P(D)}= \dfrac{0,95\cdot 0,04}{0,086}=0,4419$$

$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen tres cartas ( de forma sucesiva y sin reemplazamiento ) de una baraja española compuesta de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que:
a) Al menos dos sean del mismo palo.
b) Las tres sean del palo de bastos. [Nota: en una baraja española hay $4$ palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
a)
Calcularemos, primero, la probabilidad de que las tres cartas extraídas sean de distinto palo, y, finalmente, obtendremos la probabilidad del suceso contrario, que corresponde a la probabilidad de que al menos dos cartas sean del mismo palo.

1.º Probabilidad de que las tres cartas sean de palos distintos:
Supongamos un determinado palo, entonces la primera carta, de ese palo, podemos elegirla de $10$ maneras, de un total de $40$, así que la probabilidad de que la primera carta sea de dicho palo es de $\dfrac{10}{40}$. Veamos ahora la segunda carta, si ésta no tiene que ser del palo de la primera carta extraída, podremos elegir entre las $(40-1)-(10-1)=30$ cartas restantes ( ya no contamos con las cartas del primer palo ), de un total de $40-1=39$ cartas ( pues, lógicamente, hemos descartado la primera carta extraída del mazo ), con lo cual la probabilidad que la segunda carta no sea del mismo palo que la primera es de $\dfrac{30}{39}$. Por lo que respecta a la tercera carta, que no puede ser ni del palo de la primera ni del de la segunda, tenemos $(40-2)-(10-1)-(10-1)=20$ posibilidades a la hora de elegirla, de un total de $40-2=38$ cartas que quedan en el mazo, luego la probabilidad de que la tercera carta no sea ni del palo de la primera ni del palo de la segunda es de $\dfrac{30}{38}$. Por otra parte, podemos elegir tres palos de entre cuatro que hay en total de $\binom{4}{3}=4$, en consecuencia, la probabilidad de que las tres cartas sean de distintos palos es igual a $$\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}$$

2.º Probabilidad de que al menos dos de las tres cartas sean del mismo palo:
Finalmente, calculando la probalilidad del suceso contrario, obtenemos la probabilidad pedida: $$1-\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}=\dfrac{147}{247}\approx 0,5951$$

b)
Vamos a aplicar la probabilidad compuesta; para ello consideraremos, en las sucesivas extracciones, las situaciones precedentes a una dada que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}=\dfrac{3}{247}\approx 0,0121$.

Análisis y representación de funciones

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^3+x+2$. Se´ pide:ç
a) Hállense los máximos y mínimos locales de dicha función
b) Hállense los puntos de inflexión
c) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
d) Hágase un esbozo de la gráfica de la función $f(x)$ así como de la recta tangente pedida en el apartado anterior

SOLUCIÓN.
a) El conjunto de abscisas de los extremos relativos: $\{x \in \text{Dom}\,f:f'(x)=0\}$
Impongamos la condición necesaria para que $x\in \text{Dom}\,f$ sea la abscisa de un extremo relativo $$f'(x)=0$$ esto es $$-3x^2+1=0 \Leftrightarrow x \in \{ -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \, , \, \dfrac{1}{ |\sqrt{3}|} \}$$

A continuación, procedemos a ver cuál es la naturaleza de dichos extremos relativos; para ello, emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-6x$, en cada uno de dichos puntos. Es evidente que $f''( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \succ 0$, luego hay un mínimo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx -0,6$, siendo la ordenada de dicho punto $y_{1}^{*}\equiv f(x_{1}^{*}) = 2- \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 1,6$. Por otra parte, como es claro que $f''( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \prec 0$, hay un máximo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx 0,6$, y el valor de la ordenada que le corresponde es ordenada de dicho punto $y_{2}^{*}\equiv f(x_{2}^{*}) = 2+ \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 2,4$

b)
Para encontrar los puntos de inflexión, imponemos la condición necesaria: $f''(x)=0$, que en el caso de la función concreta en este problema es $-6x=0$. Así pues $x_{p.i.}=0$, luego $y_{p.i.}\equiv f(x_{p.i.})=f(0)=2$

c)
La ecuación de la recta tangente es $r.t.\equiv y=mx+k$, donde la pendiente $m$ es el valor de la función derivada $f'(x)=-3x^2+1$ en el punto pedido, $x=0$; esto es $f'(0)=0+1=1$. Así pues $r.t.\equiv y=x+k$. Falta ahora calcular el valor de $k$, que determinaremos teniendo en cuenta que, en $x=0$, las ordenadas de la función $f$ y de la recta han de ser iguales, por lo que $f(0)=0+k$ y por tanto $k=2$. En consecuencia, la recta tangente pedida es $r.t.\equiv y=x+2$

d)
Reuniendo los elementos de análisis que hemos encontrado, y teniendo en cuenta además que, por el teorema de Bolzano, $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1,2]\subset \mathbb{R}$, pues los valores de función cambian de signo en los extremos del mismo, $f(1)\succ 0$ y $f(2)\prec 0$; por lo demás, sólo puede haber una raíz, pues no hemos encontrado otro mínimo local a la derecha de $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$. Ésto basta para dibujar el siguiente esbozo:

$\square$