Una aplicación de la matriz traspuesta de la matriz de un grafo orientado.

Algunas propiedades sobre las matrices inversa y traspuesta

Sean $A$ una cuadrada, entonces se cumple $(A^{\top})^{\top}=A$

Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas del mismo orden, $n$, entonces se cumple $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$

Sean $A$ una cuadrada invertible ( regular ), entonces se cumple $(A^{-1})^{-1}=A$

Sean $A$ y $B$ matrices cuadradas invertibles ( regulares ) del mismo orden, $n$, entonces se cumple $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

-oOo-Comentario: Una matriz cuadrada regular ( invertible ) $A$ tal que $A^{\top}=A^{-1}$ se llama matriz ortogonal.

$\square$

Matrices ortogonales

ENUNCIADO. Se dice que una matriz cuadrada invertible ( no singular ) es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa. Compruébese que la matriz $$A=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&\cos{\alpha} \\ -\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}$$

SOLUCIÓN. La matriz traspuesta de $A$ es $A^{\top}=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&-\cos{\alpha} \\ \cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}$. Basta comprobar que $AA^{\top}=I=A^{\top}A$; en efecto,

$A\,A^{\top}=\begin{pmatrix}\sin{\alpha}&\cos{\alpha} \\ -\cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sin{\alpha}&-\cos{\alpha} \\ \cos{\alpha} & \sin{\alpha}\end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix}\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}&\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\\sin{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\cos{\alpha} & \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0 & 1\end{pmatrix}$
$\square$

Trasposición de un producto de matrices

ENUNCIADO. Demuéstrese que $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$, siendo $A$ una matriz $m \times n$ y $B$ es una matriz $n \times p$

SOLUCIÓN. Notemos que siendo $A_{m \times n}B_{n \times p} \rightarrow \square_{m \times p}$, luego $(A_{m \times n}B_{n \times p})^{\top} \rightarrow \square_{p \times m}$; y, por otra parte, $(B^{\top})_{p \times n}(A^{\top})_{n \times m} \rightarrow \square_{p \times m}$, luego lo propuesto es coherente atendiendo a las dimensiones de la matriz que resulta de la operación de cada miembro. Procedemos a demostrar dicha proposición:

$(AB)_{ij}^{\top}=(AB)_{ji}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\,(A)_{jk}(B)_{ki}=\sum_{k=1}^{n}\,(B)_{ki}(A)_{jk}=\sum_{k=1}^{n}\,(B)_{ik}^{\top}(A)_{ki}^{\top} \Rightarrow$ $$ \Rightarrow (AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$$
$\square$

Expresión de una matriz cuadrada como suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica ( artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la matriu quadrada d'ordre $n=3$
                                $\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}$
expresseu-la com a suma de dues matrius, una simètrica i una d'antisimètrica.

Solució:
En aquest exercici farem servir la matriu transposada $A^{t}$ d'una matriu $A=(a_{ij})$, que es defineix com la matriu que resulta d'intercanviar cada fila d'índex $i$ per la columna del mateix índex, és a dir, $A^t=(a_{ji})$.

Sabem (propietat) que:
    a) per a qualsevol matriu quadrada $A$ d'ordre $n$, la matriu $A+A^{t}$ és una matriu simètrica ( els seus coeficients són tals que $a_{ij}=a_{ji}$ per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ )
    b) la matriu $A-A^{t}$ és una matriu antisimètrica ( es pot comprovar que els seus coeficients són tals que $a_{ij}=-a_{ji}$ si $j \neq i$ i $a_{ij}=0$ si $i=j$, per a tot parell d'índexs $i,j=1,\ldots,n$ ).

Per altra banda, és evident que podem escriure $A$ de la següent manera:
    $A=\dfrac{A+A^t}{2}+\dfrac{A-A^t}{2}$
en altres paraules
    $A=S+T$
on $S$ representa la matriu simètrica
    $S=\dfrac{A+A^t}{2}$
i $T$ representa la matriu antisimètrica
    $T=\dfrac{A-A^t}{2}$

Dit això, tan sols ens manca calcular les matrius $S$ i $T$, i, per això, cal calcular la matriu transposada $A^{t}$:
    $A^t=\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$

Llavors:

    $A+A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
      $=\begin{pmatrix}6 &1 &6 \\ 1 &2 &3 \\ 6 &3 &-2 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. simètrica.

    $A-A^{t}=\begin{pmatrix}3 &0 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 5 &2 &-1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 &1 &5 \\ 0 &1 &2 \\ 1 &1 &-1 \end{pmatrix}$
      $=\begin{pmatrix}0 &-1 &-4 \\ 1 &0 &-1 \\ 4 &1 &0 \end{pmatrix}$
que, com podem comprovar, és un m. antisimètrica.

I, d'aqui, construïm les matrius $S$ (que és simètrica) i $T$ (que és antisimètrica) i que, sumades, donen $A$:

    $S=\dfrac{A+A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}3 &\frac{1}{2} &3 \\ \frac{1}{2} &1 &\frac{3}{2} \\ 3 &\frac{3}{2} &-1 \end{pmatrix}$

    $T=\dfrac{A-A^{t}}{2}=\begin{pmatrix}0 &-\frac{1}{2} &-2 \\ \frac{1}{2} &0 &-\frac{1}{2} \\ 2 &\frac{1}{2} &0 \end{pmatrix}$

$\square$

[nota del autor]