ENUNCIADO. Extraemos de forma sucesiva y con reposición ( con reemplazamiento ) 5 cartas de una baraja española de 40 cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). ¿ Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo 3 figuras ? [Nota: Una figura puede ser sota, caballo o bien rey]
SOLUCIÓN. La probabilidad de obtener figura es p=\dfrac{3\cdot 4}{40}=\dfrac{3}{10} y por tanto la probabilidad de obtener una carta que no sea figura es 1-p=\dfrac{7}{10}.
Entonces, la probabilidad de que, sacando 5 cartas, obtengamos exactamente 3 figuras y 2 no figuras es igual a \displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2 ( aplicando la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta que hay \binom{5}{3} maneras de disponer tres figuras en un grupo de cinco cartas, sin que importe el orden ); la probabilidad de que obtengamos exactamente 2 figuras y 3 no figuras es igual a \displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3 la probabilidad de que, sacando 5 cartas, obtengamos exactamente 1 figura y 4 no figuras es igual a \displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4 y la probabilidad de que, sacando 5 cartas, obtengamos exactamente 0 figuras y 4 no figuras es igual a \displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5
En consecuencia la probabilidad de obtener como máximo ( a lo sumo ) tres figuras es igual a la suma de esas probabilidades
\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2+\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3+\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4+\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5 \approx 0,9692 \square
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