Cálculo de probabilidades. Extracciones sucesivas con reemplazamiento.

ENUNCIADO. Extraemos de forma sucesiva y con reposición ( con reemplazamiento ) $5$ cartas de una baraja española de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). ¿ Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo $3$ figuras ? [Nota: Una figura puede ser sota, caballo o bien rey]

SOLUCIÓN. La probabilidad de obtener figura es $p=\dfrac{3\cdot 4}{40}=\dfrac{3}{10}$ y por tanto la probabilidad de obtener una carta que no sea figura es $1-p=\dfrac{7}{10}$.

Entonces, la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $3$ figuras y $2$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2$$ ( aplicando la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta que hay $\binom{5}{3}$ maneras de disponer tres figuras en un grupo de cinco cartas, sin que importe el orden ); la probabilidad de que obtengamos exactamente $2$ figuras y $3$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3$$ la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $1$ figura y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4$$ y la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $0$ figuras y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5$$

En consecuencia la probabilidad de obtener como máximo ( a lo sumo ) tres figuras es igual a la suma de esas probabilidades
$$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2+\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3+\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4+\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5 \approx 0,9692$$ $\square$