Un ejercicio acerca de un modelo de población

ENUNCIADO. Un cierto modelo de población proporciona la siguiente función de variación instantánea $$f(x)=x+1$$ donde los valores de dicha función se expresan en decenas de individuos / año; y, los valores de $x$, en años, siendo $0 \le x \le 10$ años.

Se pide:

a) La función $F(x)$ que da el número de decenas de individuos de la población que hay cada año $x$, sabiendo que la población en el primer año, $x=0$, fue de $2$ decenas de individuos. ¿ Cántas decenas de individuos hubo en el undécimo año ( $x=10$ ) ?

b) La tasa de variación relativa de la población entre el quinto año ( $x=4$ ) y el séptimo año ( $x=6$ ), expresada en tanto por ciento.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta el significado de las funciones $f$ y $F$ ( la segunda es una primitiva de la primera ) , podemos escribir que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx = \displaystyle \int \,(x+1)\,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2+x+C$ y como $F(0)=2$, tenemos que $2=\dfrac{1}{2}\cdot 0 +0+C \Rightarrow C=2$, con lo cual $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+x+2$. Así que $F(10)=\dfrac{1}{2}\cdot 10^2+10+2 = 62$ decenas de individuos.

b)
Primero, calcularemos a variación absoluta entre el tercer y el quinto año:
$$\displaystyle \left|\int_{4}^{6}\,(x+1)\,dx\right| \overset{\text{Barrow}}{=} F(6)-F(4)=$$
    $= \left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot 6^2+6+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2+4+2\right)\right|=12\, \text{decenas de individuos}$

Y, finalmente, a partir de la variación absoluta y del valor inicial, calculamos la variación relativa $$\dfrac{\left|F(6)-F(4)\right|}{|F(4)|}=\dfrac{12}{\frac{1}{2}\cdot 4^2+4+2}=\dfrac{6}{7}\approx 86\,\%$$

$\square$