Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

Sobre una enfermedad infecciosa asintomática se sabe que la tiene un $4\,\%$ de la población. Un cierto test de diagnóstico es capaz de detectar la infección en el $95\,\%$ de las personas que están realmente infectadas, pero da como infectadas a un $5\,\%$ de las personas que en realidad no lo están. Calcular la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) Dé positivo en el test
b) Habiendo dado positivo en el test, no tenga la enfermedad ( falso positivo )
c) Habiendo dado positivo en el test, tenga la enfermedad

SOLUCIÓN.
a)
Una partición del espacio muestral $\Omega$ (asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona al azar') viene dada por $\{E,\bar{E}\}$, donde $E$ representa el suceso "tener la enfermedad" y $\bar{E}$ el suceso "no tener la enfermedad". Sea $D$ el suceso, "dar positivo en el test". Entonces, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir $$P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|\bar{E})P(\bar{E})$$ así que, poniendo los datos del problema, encontramos $$P(D)=0,95\cdot 0,04+0,05\cdot (1-0,04)=0,086$$

b)
Aplicando el teorema de Bayes, $$P(\bar{E}|D)=\dfrac{P(D|\bar{E})P(\bar{E})}{P(D)}= \dfrac{0,05\cdot (1-0,04)}{0,086}=0,5581$$

c)
$$P(E|D)=1-P(\bar{E}|D)=1-0,5581=0,4419$$ que, de forma alternativa, también podemos calcular aplicando, otra vez, el teorema de Bayes: $$P(E|D)=\dfrac{P(D|E)P(E)}{P(D)}= \dfrac{0,95\cdot 0,04}{0,086}=0,4419$$

$\square$