Continuidad

ENUNCIADO.
(a) Calcúlese el valor de $k$ para que se pueda aplicar el teorema de los valores intermedios ( Darboux ) a la siguiente función en el intervalo $[-1,4]$ $$f(x)=\left\{\begin{matrix}3x^2-2x+k & \text{si} & -1\le x\le 2\\ \dfrac{6x-2}{2x+1}& \text{si}& 2 \prec x \le 4\end{matrix}\right.$$
(b) En tales condiciones, ¿ entre qué valores se encuentran los valores de función ?


SOLUCIÓN.
(a) Como en el resto de teoremas de continuidad, la condición suficiente para que se cumpla el teorema de Darbox es que la función $f(x)$ sea continua en el intervalo en cuestión. Los dos tramos por separado de la función dada son continuos, y, el único problema podria aparecer en $x=2$. Estudiemos pues la continuidad en $x=2$. La función está definida en $x=2$, calculemos los límites laterales $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)$
Vemos que dichos límites existen y sus valores son:
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2}\,(3x^2-2x+k)=8+k$$ y
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 2}\,\dfrac{6x-2}{2x+1}=2$$
Para que la función sea continua, y por tanto para que sea aplicable el teorema de Darboux, los valores de los límites laterales han de ser iguales, luego $$8+k=2 \Rightarrow k=-6$$

(b) En las condiciones de aplicación del teorema de Darboux, los valores de función están comprendidos entre $\left( 3x^2-2x-6\right)_{x=-1}=-1$ y $\left(\dfrac{6x-2}{2x+1}\right)_{x=4}=\dfrac{22}{9}$
$\square$

Un ejercicio de análisis de funciones. Continuidad, derivación e integración

ENUNCIADO. Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}a+x\,\ln\,x & \text{si}& x > 0 \\ x^2\,e^x & \text{si}& x \le 0 \end{matrix}\right.$$
( donde $\ln$ denota logaritmo neperiano y $a \in \mathbb{R}$ ), se pide:
a) El valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$
b) Calcúlese $f'(x)$ donde sea posible
c) Calcúlese $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a) Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ ( que es el único problemas que puede presentar problemas en ese sentido ) debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=\lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x \quad \quad (1)$$
Es evidente que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x=0$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=a+\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x$
Por otra parte,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x \overset{0\cdot \infty}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{\ln\,x}{1/x}\overset{\infty/\infty \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{(\ln\,x)'}{(1/x)'}=$
  $\displaystyle=\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x=0$
Así pues, de (1), podemos escribir $a+0=0$ luego $a=0$

b) Al no ser continua la función en $x=0$ no es derivable en dicho punto. Por otra parte, la derivada por la izquierda de la función $f(x)$ es $(x^2\,e^x)'=x\,e^x\,(2+x)$; y, la derivada por la derecha de dicha función es $(0+x\,\ln\,x)'=\ln\,x+1$. En resumen, $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}\ln\,x+1&\text{si}&x \succ 0 \\ \\ x\,e^x\,(2+x) &\text{si}&x \prec 0 \end{matrix}\right.$$

c) $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,x^2\,e^x\,dx \overset{(1),(2)}{=}F(0)-F(-1)=$
      $=\left(e^0\,(0-0+2)\right)-\left(e^{-1}\,((-1)^2-2\cdot(-1)+2)\right)=$
        $=2-\dfrac{5}{e}$

Aclaraciones:
(1) Procedemos a calcular una primitiva de la función integrando $x^2\,e^x$, empleando el método de integración por partes ( $\displaystyle \int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$ ): $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx=x^2\,e^x-2\,\int\,x\,e^x\,dx$, donde $u:=x^2$ ( y por tanto $du=2\,x\,dx$ ) y $dv:=e^x\,dx$ ( con lo cual $v=e^x$). A su vez, $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx = x\,e^x-\int e^x\,dx = x\,e^x -e^x = e^x\,(x-1)$; en consecuencia, $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx =x^2\,e^x-2\,e^x\,(x-1)=e^x\,(x^2-2x+2)+C$ y por tanto una función primitiva es $F(x)=e^x\,(x^2-2x+2)$
(2) En este último paso, aplicamos la regla de Barrow
$\square$

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x\,e^{2x}&\text{si}&x \prec 0 \\ \\\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\text{si}&x\ge 0 \end{matrix}\right.$$ donde $\ln$ significa logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$
b) Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \,-\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \, +\infty}\,f(x)$
c) Calcular $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.

Dada la función ...

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$, se pide:
a) Determinar su dominio de definición, las rectas asíntotas y los puntos de corte con los ejes
b) Calcular la derivada, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes de coordenadas con la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$

SOLUCIÓN.
a)
Dominio de definición:
Tanto $6-x$ como $e^{x/3}$ son funciones que están definidas ( y son continuas ) en todos los puntos de $\mathbb{R}$, así que $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$ también está definida en todo $\mathbb{R}$. Por consiguiente $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$

Puntos de corte con los ejes:
Punto de corte con el eje $Oy$. La ordenada del punto de corte con el eje de ordenadas es $f(0)=(6-0)e^{0}=-6$. Por tanto el punto de corte con dicho eje es $A(0,6)$

Puntos de corte con el eje $Ox$. Las abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas son las raíces de $f(x)$. Recordemos que $x$ es raíz de $f(x)$ si y sólo si $f(x)=0$, luego $(6-x)\,e^{x/3}\Leftrightarrow x=6$, por lo que hay un único punto de corte con el eje de abscisas a distancia finita del origen de coordenadas, que es $B(6,0)$.

Además, adelantamos que, como $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=0$, la función toma contacto con el eje de abscisas en $-\infty$; ésto es así por tener $f(x)$ una asíntota horizontal, cuya ecuación es, por tanto, $y=0$.

Rectas asíntotas:
Veamos si hay alguna asíntota oblicua. La ecuación de toda asíntota oblicua es $y=mx+k$, donde $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$. Observemos que, siendo $f'(x)=(6-x)'(e^{x/3})+(6-x)(e^{x/3})'=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, entonces $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f'(x)=0$, luego la pendiente de dicha asíntota es $m=0$; se trata de la asíntota horizontal de la que hablábamos antes. Comprobemos que $k=0$; en efecto,

$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-0\cdot x=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,(6-x)\,e^{x/3}\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{6-x}{e^{-x/3}}=\dfrac{\infty}{\infty}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{(6-x)'}{(e^{-x/3})'}=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{-1}{-\frac{1}{3}\,e^{-x/3}}=\dfrac{3}{\infty}=0$

Por otra parte no hay más asíntotas oblicuas, pues el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f'(x)$ diverge.

Tampoco hay asíntotas verticales, ya que no existe ningún $k \in \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow k}\,f(x)=\pm \infty$

Así pues, sólo hay una asíntota, $\text{r}:y=0$

b)
Hemos calculado ya la primera derivada de la función: $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$. Veamos si $f(x)$ presenta extremos relativos ( que son todos los valores de $x$ donde la función es derivable y cuya derivada es nula ): $$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=3$$ luego la función tiene un único extremos relativo. A continuación, debemos determinar qué tipo de extremo relativo es; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada.

Derivando la primera derivada obtenemos $$f''(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)'\,e^{x/3}+(1-\dfrac{1}{3}x)\,(e^{x/3})'=\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{4}{3}x)\,e^{x/3}$$ Observemos que $f''(3)\prec 0$, luego $x=3$ es la abscisa de un máximo relativo. Su ordenada es igual a $f(3)=(6-3)\,e^{3/3}=3e\approx 8,15$

Intervalos de crecimiento/decrecimiento:
$I_{\uparrow}=(-\infty,3)$ y $I_{\downarrow}=(3,+\infty)$



A modo de resumen, dibujamos la gráfica de la función:

c)
La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $f'(0)$. Recordemos que $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, luego $m=(1-0)e^0=1$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $\text{t}:y=1\cdot x+k$. Procedemos a calcular el valor de $k$. Como en $x=0$, la ordenada de la función ( $f(0)=(6-0)\,e^{0}=6$ ) y la ordenada la ordenada de la recta tangente ( que es igual a $0\cdot 1 +k$ ) han de tener el mismo valor, $$6=0+k$$ luego $k=6$, por tanto la ecuación de la recta tangente pedida es $$\text{t}:y=x+6$$ que aparece representada en la figura, junto con la región del plano cuya área queremos determinar

El punto de corte de la recta tangente con el eje de abscisas es $C(-6,9)$; en efecto, imponiendo que $y=0$, $x+6 \Leftrightarrow x=-6$

Así, el área de la región triangular pedida ( coloreada en la figura ) es $$\displaystyle \int_{-6}^{0}\,(x+6)\,dx=\left[\dfrac{1}{2}x^2+6x\right]_{-6}^{0}=18$$

$\square$

Continuidad y derivabilidad

ENUNCIADO. Estudiar la continuidad y la derivabilidad en $x=0$ y en $x=1$ de la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}0 & \text{si}& x \le 0 \\ |x\,\ln\,x| & \text{si}& x \succ 0 \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
Teiendo en cuenta que la función logaritmo está definida sólo para valores positivos de la variable independiente, deducimos que el dominio de definición de la función es $\text{Dom}_f=(0\,+\infty)\subset \mathbb{R}$ y el recorrido de la función ( dado el valor absoluto ) es $\text{Rec}_f=[0,+\infty) \subset \mathbb{R}$

a) Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$
Si bien existe el límite por la derecha $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=\left|\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,x\,\ln\,x\right|=\left|\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{\ln\,x}{1/x}\right|=\dfrac{-\infty}{\infty}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\left|\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{(\ln\,x)'}{(1/x)'}\right|=$
$=\left|\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{1/x}{-1/x^2}\right|=\left|\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,(-x)\right|=0$
observemos que no existe el límite por la izquierda $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)$ por no estar definida la función a la izquierda del cero. Por consiguiente no existe el límite global $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)$, luego la función no es continua en $x=0$. Y al no ser continua en dicho punto, tampoco es derivable en él.

b) Estudio de la continuidad y de la derivabilidad de $f(x)$ en $x=1$
La función $g(x)=x\,\ln\,x$ es continua en todos los puntos de su dominio de definición $(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$, pues $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\,f(x)=0=f(1)$; y corta al eje de abscisas en $x=1$ y en $x=0$; tiene, además, un mínimo local en $1/e$; en efecto, derivando la función e igualando a $0$ ( condición necesaria de existencia de extremos relativos ), encontramos $1+\ln\,x=0 \Leftrightarrow x^{*}=1/e$.

Ahora bien, la función $f(x)=\left|g(x)\right|$ presenta un máximo donde la función $g(x)$ presenta el mínimo, esto es, en $x=1/e$ y corta al eje de abscisas en los mismos puntos que $g(x)$; esto nos permite trazar un esquema del comportamiento de la función $f(x)$ tal como se muestra en la siguiente figura

y donde se observa que la recta tangente a la función en $x=1$ no es la misma por la izquierda que por la derecha de dicho punto; por tanto, de acuerdo con el significado geométrico de la derivada de una función en un punto, podemos afirmar que no existe la derivada en dicho punto, esto es, la función no es derivable en $x=1$, aún siendo continua en él. $\square$

Dada la función ...

ENUNCIADO
Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sin{x}}{x}\,,\, \text{si}\,x \prec 0 \\
\\
x\,e^x+1 \,,\, \text{si}\,x \ge 0
\end{matrix}\right.$$
se pide:
a) Estudiar la continuidad de $f$
b) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$ donde sea posible
c) Calcular $\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
El único punto donde $f$ puede presentar problemas de continuidad es $x=0$; en los demás puntos de $D_f$ la función es continua, por ser continua en sendos tramos. Veamos, ahora, si se cumplen las condiciones de continuidad en dicho punto.

i) Existencia de los límites laterales en $x=0$:

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin{x}}{x}\overset{\text{indet.} \frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(\sin{x})'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos{x}}{1}=\cos{0}=1$$

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,(x\,e^x+1)=0\cdot e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$$

ii) Existencia del límite global en $x=0$:
Como existen los límites laterales en $x=0$ y su valor coincide, existe el límite global en $x=0$ y su valor es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=1$$

iii) El valor del límite global coincide con el valor de la función de $x=0$:
Como $f(1) \overset{\text{definición}}{=} e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=f(1)=1$$

Entonces, al cumplirse las tres condiciones necesarias y suficientes de continuidad en un punto ( $x=0$ ), podemos afirmar que la función es continua en $x=0$

b)
El único punto donde la función podría no ser derivable es en $x=0$ ( a pesar de ser continua en dicho punto ). Para que la función sea derivable en $x=0$ es necesario que existan los límites $\displaystyle f'(0^{-}) \equiv\lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}$ y $f'(0^{+}) \equiv \displaystyle \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ y que sus valores coincidan, esto es, que las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función, a izquierda y a derecha de dicho punto, tengan el mismo valor. Calculemos estas derivadas; la del primer tramo es $$\left(\dfrac{\sin{x}}{x}\right)'=\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$$ y la del segundo tramo $$\left( x\,e^x+1\right)'=e^{x}\,(x+1)$$ luego $$\displaystyle f'(0^{-}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2} \overset{\text{indet.},\frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=}$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{(x\,\cos{x}-\sin{x})'}{(x^2)'} =\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{-\sin{x}}{2}=-\dfrac{1}{2}\,\sin{0}=-\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$$ y $$\displaystyle f'(0^{+}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,e^{x}\,(x+1)=e^{0}\,(0+1)=1\cdot (0+1)=1$$
Ahora bien, como $f'(0^{-}) \neq f'(0^{+})$, el límite global mediante el que se define la derivada no existe ( en $x=0$ ), es decir, $f$ no es derivable en $x=0$.

c)
Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, una primitiva de $x\,e^{x}+1$ ( que es el tramo de función del integrando, ya que integramos de $1$ a $3$, ambos mayores que $0$ ) es $e^{x}\,(x-1)+x$ ( integrando por partes ), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), tenemos que

$\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{3}\,(x\,e^x+1)\,dx=\left[ e^{x}\,(x-1)+x \right]_{1}^{3}$

$=(e^{3}\,(3-1)+3)-(e^{1}\,(1-1)+1)=2\,(e^3+1)$

$\square$

[nota del autor]

Analizar la continuidad y la derivabilidad de la función en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la següent funció:
$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+1)^3 \quad \text{si} \quad x \le 0\\\\2 \quad \text{si} \quad x=1\\\\-x^2+2 \quad \text{si} \quad x > 0 \; \wedge \; x \neq 1\\ \end{matrix}\right.$

Us demanem:

    a) La representació gràfica de la funció

    b) Localitzeu els punts de discontinuïtat i classifiqueu-los de forma analítica. Digueu de quin tipus de discontinuïtat es tracta. [ Cal que raoneu a partir dels valors dels límits laterals (si existeixen), del límit global (si existeix o no), i del valor de la funció en el punt de discontinuïtat considerat ( si la funció està definida en aquest punt, és clar )]

    c) Calculeu el valor de la derivada de la funció per al punt d'abscissa $x=-1$

    d) Indiqueu per a quins valors de la variable independent la funció no és derivable. Expliqueu per què.

Resolució:
a)   Dibuixem el gràfic (vegeu la Figura 1) d'acord amb la definició (a troços) de la funció; a partir del traç de la paràbola semicúbica $x^3$ (desplaçada una unitat en el sentit negatiu de l'eix d'abscisses), i dibuixant el traç de la funció quadràtica $x^2$ (desplaçada dues nunitats en el sentit positiu de l'eix d'ordenades i invertint-la).
$\square$

Figura 1

b)   La funció presenta una discontinuïtat essencial de primera espècie (en concret, de salt finit) per a $x=0$, atès que el els límits laterals existeixen i tenen valor finit, però no coincideixen
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=1$
i
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=2$
per aquesta raó
$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)$

Per altra banda, hi ha una discontinuïtat no essencial (evitable) a $x=1$ perquè per bé que
$\displaystyle \exists \lim_{x \rightarrow 1}\,f(x)$ (i és igual a $1$), el seu valor no és igual al valor de la funció per a $x=1$ (que és igual a $2$)
$\square$

c)   Per a calcular $f^{'}(-1)$, tindrem en compte que [ d'acord amb la definició de la funció ], per a $x=-1$, cal derivar l'expressió del primer tram, que és igual a
$\bigg( (x+1)^3 \bigg)^{'}=3\,(x+1)^2$
Per a $x=-1$ pren el valor
$3\,(-1+1)^2=0$
$\square$

d)   Lògicament, la funció no és derivable en els punts on és discontínua: $x=0$ i $x=-1$. Per altra banda, per a la resta de punts del domini d'existència ( $D = \mathbb{R}$ ), el límit que defineix la derivada existeix (els límits laterals existeixen i coincideixen) i, per tant, la funció és derivable en tots aquests altres punts.
$\square$

[nota del autor]

Una cuestión sobre continuidad de una función en ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
És contínua la funció
    $f(x)=\sin \, \dfrac{1}{x}$
en el punt d'abscissa $x=0$ ?

Solució:
La funció sinus no està definida per a $x=0$ perquè s'anul·la el denominador, llavors la funció no és contínua en aquest punt. Hem acabat.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de continuidad y derivabilidad. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció:
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left| \sqrt{\left|x-2\right|} \right|$
Raoneu:
a) És contínua en tot el seu domini d'existència ?
b) És derivable en tot el seu domini d'existència ?

Solució:

a) La funció és contínua en tots els punts del domini d'existència, que és $\mathbb{R}$
b) Malgrat ser contínua en tot el domini d'existència, la funció no és derivable en el punt d'abscissa $x=2$ perquè el límit que defineix la derivada en aquest punt no existeix; en efecte, els límits laterals divergeixen: a $+\infty$ per la dreta, i a $-\infty$ per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = +\infty$
i
    $\lim_{h \rightarrow 0^-}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=-\infty$
per tant
    $\displaystyle \nexists \lim_{h \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \Rightarrow \nexists f'(2)$
$\square$

[nota del autor]