Geometría analítica. Espacio euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(1,0,1)$ y la recta $r\equiv x=-y=z$, se pide:
a) La distancia euclídea de $P$ a $r$
b) Considérese el plano $\pi \equiv z=0$, ¿ cuál es la distancia euclídea entre $P$ y $\pi$ ?
c) Considérense los puntos $O(0,0,0)$, $A(2,0,0)$, $B(0,3,0)$ y $C(0,0,1)$. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos referidos.

SOLUCIÓN.
a)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es un punto de la recta $r$ y $\vec{u}$ es un vector en la dirección de la misma.

Como $r\equiv \dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-0}{1}$, tomamos $$\vec{u}:=(1,-1,1) \Rightarrow \left|\vec{u}\right|=\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|=|\sqrt{3}|$$ por otra parte, $\overset{\rightarrow}{AP}=\overset{\rightarrow}{OP}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1-0,0-0,1-0)=(1,0,1)$ con lo cual $$ \overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u} = (1,0,1) \times (1,-1,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&0&1\\1&-1&1\end{vmatrix}=$$
$$=\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=\vec{i}-\vec{k}=(1,0,-1)$$ Nota: $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$
Tenemos pues que $$\left\|\overset{\rightarrow}{AP} \times \vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=|\sqrt{2}|$$ Así, de (1), $$d(P,r)=\left|\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right|\;\text{unidades arbitrarias de longitud}$$

b)
Hemos demostrado en clase que $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right| \quad \quad (2)$$ donde $A,B,C$ y $D$ son los coeficientes de la ecuación general del plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$, esto es, en el caso que nos ocupa ( $\pi \equiv z=0$ ): $A=B=D=0$ y $C=1$. Por consiguiente, de (2), $$d(P\,\pi)=\left|\dfrac{0\cdot 1+0\cdot 0 +1\cdot 1+0}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\right|=1\;\text{unidades arbitarias de longitud}$$

c)
Hemos visto en clase que el volumen de un tetraedro es igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores que partiendo de uno de sus vértices comprenden las tres aristas del mismo, es decir, una sexta parte del producto mixto de $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$ y $\overset{\rightarrow}{OC}$, esto es $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,[\overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OC}]\,\right|$$

Nota: Recordemos que el producto mixto de tres vectores $\vec{a}$, $\vec{b}$ y $\vec{c}$, se suele denotar como $[\vec{a},\vec{b}\,\vec{c}]$ y se define de la forma $\langle \vec{a}\,,\, \vec{b} \times \vec{c} \rangle = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$

Y teniendo encuenta que $\overset{\rightarrow}{OA}=(2,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{OB}=(0,3,0)$ y $\overset{\rightarrow}{OC}=(0,0,1)$, tenemos que $$\mathcal{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot \begin{vmatrix}2& 0& 0\\0 & 3 &0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=\dfrac{1}{6}\cdot 2\cdot 3 \cdot 1=1\;(\text{unidades arbitrarias de longitud})^3$$

$\square$