Cálculos con la distribución normal

ENUNCIADO. La edad de los individuos de una población se ajusta a una distribución de probabilidad normal, de media $27$ años y desviación estándard de $1,8$ años. ¿ Qué tanto por ciento de la población tiene una edad comprendida entre $25$ y $30$ años ?. Si se eligen al azar $230$ individuos de dicha población, ¿ cuántos de ellos se espera que estén en esa franja de edad ?.

SOLUCIÓN.

$P\{25\le X \le 30\}=P\{X \le 30 \}-P\{X \le 25 \}=$

  $\overset{(1)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-P\{Z \le -1'1111\}=$

  $\overset{(2)}{=}P\{Z \le 1'6667\}-(1-P\{Z \le 1'1111\}) =P\{Z \le 1'6667\}+P\{Z\le 1'1111\}-1$

    $=F(1'6667)+F(1'1111)-1 =$

    $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)\,,\,(3)}{=}0'9522+0'8667-1$

    $=0'8189$


Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-27}{1'8}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $17 \rightarrow \dfrac{30-27}{1'8}=1'6667$
    $15 \rightarrow \dfrac{25-27}{1'8}=-1'1111$
(2) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$
(3) Interpolación lineal entre los valores que figuran en la tabla:

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,67   | 0'9525
1,66   | 0'9515
1,67   | 0'9525
1,6667 | F(1'6667)
-------------------

$\dfrac{F(1'6667)-0'9515}{0'9515-0'9525}=\dfrac{1'6667-1'66}{1'66-1'67} \Rightarrow F(1'6667)=$

  $=\dfrac{(1'6667-1'66)\cdot (0'9515-0'9525)}{1'66-1'67}+0'9515 \approx 0'9522$

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,11   | 0'8665
1,12   | 0'8686
1,67   | 0'9525
1,1111 | F(1'1111)
-------------------

$\dfrac{F(1'1111)-0'8686}{0'8686-0'8665}=\dfrac{1'1111-1'12}{1'12-1'11} \Rightarrow F(1'1111)=$

  $=\dfrac{(1'1111-1'12)\cdot (0'8686-0'8665)}{1'12-1'11}+0'8686 \approx 0'8667$

En consecuencia, de los $230$ individuos que se han elegido ( al azar ), $0'8667 \cdot 230 \approx 199$ se espera que se encuentren en la franja de edad pedida.

$\square$