Discusión de un límite en cuyo argumento aparece la función valor absoluto

Se pide que calculemos el siguiente límite: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$$

Para que exista el límite, los límites laterales han de existir y, además, han tener el mismo valor. Veamos si es así, teniendo en cuenta la definición de valor absoluto $$|x+1|:=\left\{\begin{matrix}x+1 & \text{si} & x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge -1 & (1.1) \\ -(x+1) & \text{si} & x+1\lt 0 \Leftrightarrow x\lt -1 & (1.2) \end{matrix}\right.$$ $$|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x \ge 0 & (2.1) \\ -x & \text{si} & x\lt 0 & (2.2) \end{matrix}\right.$$

Calculemos los límites laterales.
  Límite lateral por la izquierda:
    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}\overset{(1.2),(2.2)}{=}\lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{-(x+1)}{1-(-x)}=\lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,\dfrac{-(x+1)}{x+1}= \lim_{x\rightarrow \,-1^-}\,-1=-1$
  Límite lateral por la derecha:
    $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}\overset{(1.1),(2.2)}{=}\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{x+1}{1-(-x)}=\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,\dfrac{x+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow \,-1^+}\,1=1$
Así, si bien ambos límites laterales existen, pero sus valores no coinciden, razón por la cual se concluye que el límite global $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \,-1}\,\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ no existe.

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Observación 1:
De acuerdo con lo anterior, podemos decir que la función $f(x)=\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ tiene una discontinuidad de salto (finito) en $x=-1$

-oOo-

Observación 2:
Démonos cuenta, por otra parte, de que el valor de la función $f(x)=\dfrac{|x+1|}{1-|x|}$ en $x=-1$ es $1$; en efecto: $f(-1)\overset{(1.1),(2.2)}{=}\dfrac{1+1}{1-(-1)}=\dfrac{2}{2}=1$.

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Cálculo de límites con indeterminaciones del tipo 1^\infty

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límte la expresión de la base de la potencia y la expresión del exponente nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^{\infty}$, que resolveremos empleando la siguiente propiedad $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{\Phi(x)}\right)^{\Phi(x)}=e$$

Procedemos a expresar convenientemente el argumento del límite, al objeto de aplicar esa propiedad. Dividiendo $x-2x^2+3$ entre $-2x^2+1$ obtenemos $C(x)=1$ y $R(x)=x+2$, por lo que podemos expresar la fracción impropia de la base de la potencia del argumento del límite de la forma $\dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}=1+\dfrac{x+2}{-2x^2+1}$, con lo cual
$\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}\right)^{(x+2)(x+1)/(-2x^2+1)}$.

Entonces $$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}=e$$ y, por otra parte,
$$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{(x+2)(x+1)}{-2x^2+1}=-\dfrac{1}{2}$$

Así que aplicando la propiedad de la potencia de los límites llegamos a $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$$
$\square$

Otro ejercicio de cálculo de límites

ENUNCIADO.
Calcúlese el siguiente límite: $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{2x}{x-1}\right)^{(x^2-3)/(3x\,(x+5))}$$

SOLUCIÓN.
El límite de la base es $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\dfrac{2x}{x-1}=2$$ y el límite del exponente es $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\dfrac{x^2-3}{3x\,(x+5)}=\dfrac{1}{3}$$ por lo que $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{2x}{x-1}\right)^{(x^2-3)/(3x\,(x+5))}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}$$

$\square$

Cálculo de límites

ENUNCIADO.
(a) Calcúlese el siguiente límite: $$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$$
(b) Calcúlese el siguiente límite: $$\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$$

SOLUCIÓN.
(a)
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$. Dividiendo numerador y denominador por $x^2$ podremos resolver este tipo de indeterminación:

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}=\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{\sqrt{1/x^3-2/x^4}-2/x^2}{1-6/x}=\dfrac{0}{1-0}=0$

Observación: También hubiésemos podido utilizar la regla de l'Hôpital, si bien, en este caso, la técnica empleada es la más eficiente.


(b) Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}$, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$.
Como en el caso anterior, también se cumplen en éste las condiciones de aplicación de la regla de l'Hôpital, y, en este caso, sí merece la pena emplearla.

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{\sqrt{x-2}-2}{x^2-6x}=\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{(\sqrt{x-2}-2)'}{(x^2-6x)'}=\lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{1/(2\,\sqrt{x-2})}{2x-6}=$
  $=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,6}\,\dfrac{1/4}{(x-3)\,\sqrt{x-2}}=\dfrac{1}{4\cdot 3\cdot 2}=\dfrac{1}{24}$
$\square$

Otro ejercicio de cálculo de límites

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Calculando límites

ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}$$

SOLUCIÓN. $\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}\overset{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x)'}{(\sin\,x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\cos\,x}=\dfrac{1}{\cos\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
donde hemos aplicado la regla de l'Hôpital para resolver la indeterminación indicada
$\square$

Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x}$$

SOLUCIÓN. La función del numerador, $\sin\,x$, está acotada entre $-1$ y $1$; por otra parte, al pasar al límite el denominador tiene a $\infty$, luego el límite pedido tiende a $0$ $\square$

Cálculo de límites

Cálculo de límites

Ejercicio a)
    Enunciado:
Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2}$

Resolución:
Por las propiedades elementales del cálculo de límites de las funciones continuas podemos escribir dicho límite de la forma

$\displaystyle \Bigg(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}\Bigg)^2$

Calculemos, por tanto, el límite de la base de la potencia

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}$

al intentar pasar al límite encontramos una indeterminación del tipo

$\frac{0}{0}$

Para resolver dicha indeterminación, haremos uso de la regla de l'Hôpital (que recordemos que puede aplicarse si: a) tanto el numerador como el denominador son infinitésimos, és decir, tienden a cero al pasar al límite (que es nuestro caso); o bien, b) si el denominador tiende a infinito).

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} =\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})'}{(x-\frac{\pi}{2})'}$


Con lo cual, derivando (numerador y denominador):

$\big(\cos{x}\big)'=-\sin{x}$

$\big(x-\frac{\pi}{2}\big)'=1$

y, por tanto, el límite anterior es igual a

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, (-\sin{x})=-1$

Finalmente,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2} = (-1)^2 = 1$

$\square$

Ejercicio b)
    Enunciado:

Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x}$

Resolución:
Oservemos que, si pasamos al límite, obtenemos una indeterminación del tipo

$\dfrac{0}{0}$

Para resolverla, podemos emplear la regla de l'Hôpital, puesto que tanto el numerador como el denominador del argumento del límite són infinitésimos

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{(3^x-2^x)'}{(x)'} \quad \quad (1)$

expresaremos, por tanto, las exponenciales en base común $e$, con el objeto de calcular las derivadas:

$3^x=e^{x\,\ln{3}}$

$2^x=e^{x\,\ln{2}}$

calculemos las derivadas de las expresiones del numerador y del denominador:

$(3^x-2^x)'=(\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}$

$(x)'=1$

y aplicando la regla de l'Hôpital (1)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \, \big((\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}\big)$

que es igual a

$\displaystyle \ln{3}\,\Big( \lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{3}}\big)\Big) - \ln{2}\, \Big(\lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{2}}\big)\Big)=\ln{3}-\ln{2}$

$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el siguiente límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solución:
Teniendo en cuenta que la función tangente no está acotada
    $\tan\,\alpha \in (-\infty, \infty)$
y aunque el factor $x$ tienda a cero cuando $x \rightarrow 0$, debemos tener en cuenta que la tangente de $1/x$ oscil·la entre $-\infty$ y $+\infty$: pequeñas variaciones de $x$ dan lugar a grandes variaciones del argumento de la razón tangente ( $1/x \rightarrow \infty$ cuando $x \rightarrow 0$ ), se concluye de ello que el límite no existe.
$\square$

[nota del autor]

Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]

Cálcular el siguiente límite. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Tenint en compte que la funció
    $\sin \, \dfrac{1}{x}$
està fitada entre $-1$ i $1$
i que el factor $x$ tendeix a zero quan $x \rightarrow 0$
llavors
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, x\,\sin\, \dfrac{1}{x}=0$
$\square$

[nota del autor]

Calcular el límite ...

Enunciado:
Calcular el límite
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\sin\, x$

Solución:

Teniendo en cuenta que:
    1) la función seno toma valores comprendidos entre $-1$ y $1$ y que cuando $x \rightarrow \infty$ no es posible saber qué valor toma
    2) la función $x$ no es acotada
debemos concluir que el límite pedido no existe.
$\square$

[nota del autor]

Calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}$

Solució:
Fent el canvi $w=1/x$ podem escriure
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\, x\,\tan\, \dfrac{1}{x}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w$
i, en passar al límit, s'obté una indeterminació del tipus $0/0$, que resoldrem fent ús de la tècnica de l'Hôpital
      $\displaystyle \lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{1}{w}\,\tan\,w=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{(\tan\,w)^{'}}{(w)^{'}}=\lim_{w \rightarrow 0}\, \dfrac{\frac{1}{\cos^{2}\,w}}{1}=\dfrac{1}{\cos^{2}\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
$\square$

[nota del autor]