Insistiendo acerca de los teorema de la probabilidad total y de Bayes. Uso de las tablas de contingencia ( al final del artículo )

Lo expliqué a mis alumnos de cuarto de ESO. Os puede ir bien también a vosotros, pues no está de más volver a hablar de estos dos importantes teoremas y sus aplicaciones. Veréis que el ejercicio es muy sencillo, pero merece la pena que os fijéis bien en las tres variantes de resolverlo ( empleando el lenguaje formal, utilizando diagramas en árbol, y, por último, usando una tabla de contigencia ). Seguid este enlace.

Cálculos de probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Sucesos incompatibles.

ENUNCIADO. Considérense dos sucesos $A$ y $B$ asociados a una cierta experiencia aleatoria tales que $P(B)=\dfrac{1}{3}$, $P(A)=\dfrac{2}{5}$ y $P(\bar{A}|B)=\dfrac{2}{3}$. Averígüese si:
a) Averígüese si $A$ y $B$ son independientes
b) Averígüese si $A$ y $B$ son incompatibles
c) Calcúlese $P(A|\bar{B})$
d) Calcúlese $P(A \cup B)$

SOLUCIÓN.
a) Sabemos que $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$. Veamos si se cumple la condición necesaria; como $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$, tenemos que $P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)$, esto es, $P(A|B)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \neq P(A)$, en consecuencia $A$ y $B$ no son independientes.

b) Para que $A$ y $B$ sean incompatibles se ha de cumplir que $P(A \cap B)=0$; sin embargo, $P(A\cap B)\overset{\text{def}}{=}P(A|B)P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}\neq 0$, luego $A$ y $B$ no son incompatibles.

c) $P(A|\bar{B})\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\dfrac{2/5-1/9}{1-1/3}=\dfrac{13}{20}$

d) $P(A \cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{28}{45}$

$\square$