Reglas de derivación. Cálculo de primitivas

ENUNCIADO.
(a) Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables, de las que se conocen los siguientes datos: $f(1)=1$, $f'(1)=2$; $g(1)=3$, $g'(1)=4$. Se pide:
i) Dada la función $h(x)=f((x+1)^2)$, empléese la regla de la cadena para calcular $h'(0)$
ii) Dada la función $k(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$, calcúlese $k'(1)$
(b) Calcúlese la integral $\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx$ ( Sugerencia: utilízece el cambio de variable $\sin\,x=t$ )

SOLUCIÓN.
a.i)
Aplicando la regla de la cadena, $$h'(x)=\dfrac{dh(x)}{dx}=\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}\,\dfrac{d((x+1)^2}{dx}=2x\,\dfrac{d(f(x+1)^2)}{d((x+1)^2)}=2x\,f'((x+1)^2)$$ luego $$h'(0)=2\cdot 0\cdot f'((0+1)^2)=0\cdot f'(1)=0\cdot 2=0$$

a.ii)
Aplicando la regla de derivación del cociente de funcions $$k'(x)=\dfrac{f'(x)\,g(x)-g'(x)\,f(x)}{(g(x))^2}$$ luego $$k'(1)=\dfrac{f'(1)\,g(1)-g'(1)\,f(1)}{(g(1))^2}=\dfrac{2\cdot 3-4\cdot 1}{3^3}=\dfrac{2}{9}$$

b)
Con el cambio de variable $\sin\,x=t$, tenemos que $$\dfrac{dt}{dx}=\cos\,x \Rightarrow dt=\cos\,x\,dx=\sqrt{1-t^2}\,dx \Rightarrow dx= \dfrac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$, habida cuenta de que, por la Identidad Fundamental de la Trigonometría, $$\cos\,x=\sqrt{1-(\sin\,x)^2}=\sqrt{1-t^2}$$ Entonces,
$\displaystyle \int\,(\sin\,x)^4\,(\cos\,x)^3\,dx = \int\,t^4\,(1-t^2)^{3/2}\,\dfrac{dt}{(1-t^2)^{1/2}}=\int\,t^4\,(1-t^2)\,dt=$
  $=\displaystyle \int\,(t^4-t^6)\,dt=\dfrac{1}{5}\,t^5-\dfrac{1}{7}\,t^7+C=\dfrac{1}{5}\,(\sin\,x)^5-\dfrac{1}{7}\,(\sin\,x)^7+C$
$\square$

Un ejercicio de cálculo de integrales indefinidas ( cálculo de primitivas )

ENUNCIADO. Calcúlense las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx$
b) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx=$
  $=\displaystyle \int\,-\dfrac{1}{2}\,d(e^{-x^2})\,dx$, habida cuenta de que $\left( e^{-x^2} \right)'=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-2x\,e^{-x^2}$
    $=-\dfrac{1}{2}\,e^{-x^2}+C$

b)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx=$ ( Inegrando por partes: $u=x \Rightarrow dx=du$, $e^{-x}\,dx=dv \rightarrow v=-e^{-x} \rightarrow \int\,udv=uv -\int\,vdu$ )
  $=\displaystyle=-x\,e^{-x}-\int\,(-e^{-x})\,dx$
    $=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C$
      $=-e^{-x}\,(x+1)+C$

$\square$

Cálculo de primitivas de algunas funciones irracionales

Nota preliminar.
Lo siguiente se consideran de ampliación ( de los contenidos de integración ) en el ámbito del bachillerato

--- I) Las integrales del tipo $\displaystyle \int R \left(x,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{1}/n_{1}},\ldots,\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)^{m_{k}/n_{k}}\right)\,dx$, donde $R$ denota una función racional, se pueden resolver mediante el cambio de variable $y^n=\dfrac{ax+b}{cx+d}$, siendo $n=\text{m.c.m}(\{n_1,\ldots,n_k\})$

II) Las integrales binomicas $\displaystyle \int\,x^{p}\,(ax^q+b)^r\,dx$, donde $p,q,r$ son números racionales, se resuelven haciendo el cambio de variable $t=x^q$, siempre que $r,\dfrac{p+1}{q}$ o bien $r+\dfrac{p+1}{q}$ sean números enteros.

III) El cambio de variable $x=a\,\sin\,t$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{a^2-x^2})\,dx$

IV) El cambio de variable $x=\dfrac{a}{\sin\,t}$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{x^2-a^2})\,dx$

V) El cambio de variable $x=a\,\tan\,t$ suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{a^2+x^2})\,dx$

VI) El cambio de variable $y=x+\alpha$, despues de transformar $ax^2+bx+c$ en la forma $a(x+\alpha)^2+\beta^2$, suele funcionar con las integrales del tipo $\int\,R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})\,dx$

VII) Las integrales del tipo $\displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx$, siendo $P_{n}(x)$ un polinomio de grado $n$, se transforman en alguna de las anteriores haciendo la descomposición $$\displaystyle \int\,\dfrac{P_{n}(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx=Q_{n-1}(x)\,\sqrt{ax^2+bx+c}+\int\,\dfrac{A}{ax^2+bx+c}\,dx \quad (1)$$ donde $Q_{n-1}(x)$ es un polinomio de grado $n-1$ con coeficientes indeterminados. Los coeficientes de $Q_{n-1}$ así como el coeficiente $A$ se determinan derivando (1) en ambos miembros.

VIII) Las integrales del tipo $\displaystyle \int \dfrac{dx}{(\alpha\,x+\beta)^{n}\,\sqrt{ax^2+bx+c}}\,dx$ donde $n$ es un número real, se tranforman en una integral de alguno de los tipos anteriores mediante el cambio de variable $t=\dfrac{1}{\alpha\,x+\beta}$

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Referencias:
M. L. Calle, R. Vendrel, Problemes d'àlgebra lineal i càlcul infinitesimal, Eumo Editorial, Barcelona, 1992

N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
      a) $\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}$       b) $\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
El polinomio del denominador se puede factorizar de la forma $x\,(x-1)^2$, así pues, $$\dfrac{1}{x\,(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}
+\dfrac{C}{(x-1)^2}$$ por lo que deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A&+&B&&&=&0 \\ -2A&-&B&+&C&=&0 \\ A&&&&&=&1\end{matrix} \right.$$ cuya solución es $$\left\{\begin{matrix}A&&&&&=&1 \\ &&B&&&=&-1 \\ &&&&C&=&1\end{matrix} \right.$$ Entonces podemos escribir que
$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}=\int\,\dfrac{dx}{x}+\int\,\dfrac{(-1)\,dx}{x-1}+\int\,\dfrac{dx}{(x-1)^2}\overset{\text{integrales inmediatas}}{=}$
$$=\ln\,|x|-\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$$

b)
$\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx=\int \, \dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}\,x\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C\overset{(2)}{=}\ln \,(|\sin\,x|) + C$

(1): Cambio de variable $t:=\sin\,x$, luego $dt=\cos\,x\,dx$
(2): Deshaciendo el cambio de variable (1)

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcúlese la familia de primitivas asociada a la función $$f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$$

SOLUCIÓN.
$$\displaystyle \int\, \dfrac{e^x}{1+e^x}\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1\overset{(2)}{=}\ln\,(1+e^x)+C$$

Nota 1. Cambio de variable: $t=1+e^x \Rightarrow dt = e^x\,dx$
Nota 2. Deshaciendo el cambio de variable realizado en (1)

Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas

Cálculo de primitivas. Exposición de técnicas para tratar funciones con términos irracionales.

Integral indefinida. Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas.

ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x}$$

SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$

Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas

Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas de funciones racionales.

Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ( primitiva ) ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \tan(x)\,dx$

Resolució:
Podem escriure la integral demanada de la forma
    $\int\, \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\,dx$
I fent el canvi de variable
    $u=\cos{x}$
        $du=-\sin{x}\,dx$
la integral demanada es pot posar de la forma
    $-\int\, \dfrac{du}{u}$
que és igual a
    $-\ln{(u)}$
i, desfent el canvi de variable, arribem a
    $\int \, \tan(x)\,dx=-\ln{\big( \cos{x}\big)}+C$
on $C$ és la constant d'integració (la constant arbitrària de la família d'aquesta família de primitives).
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \arctan(x)\,dx$

Resolució:
Farem ús aquí del mètode d'integració per parts, que es basa en la següent propietat
    $\int\, u\,dv = u\,v - \int v\,du \quad \quad (1)$
Per això, fem les següents designacions:
    $u=\arctan(x) \; \text{, d'on} \; du=\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
i
    $dv=dx \; \text{, i d'aquí, } \; v=x$

Llavors, d'acord amb (1), escriurem:
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx \quad \quad (2)$

Per calcular una primitiva de la funció integrand que apareix al segon terme
        $\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$
farem ús d'un senzill canvi de variable:
        $x^2+1=w \Rightarrow dw=2\,x\,dx$
amb la qual cosa, la integral ens queda expressada de la forma
        $\frac{1}{2}\,\int \,\dfrac{1}{w}\,dw$
que és igual a
        $\frac{1}{2}\,\ln{w}$
i desfent el canvi de variable, queda
        $\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}$

I, finalment, posant aquest resultat en (2), arribem a la família de primitives demanada
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}+C$
on $C$ és la constant arbitrària.
$\square$

[nota del autor]

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO:
Calcular la integral indefinida $$\int x\,e^{x^2}\,dx$$

SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable $e^{x^2}=t$, $$dt=\left( e^{x^2} \right)' \,dx$$
es decir
$$dt=2x\,e^{x^2} \,dx$$
Así, $$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int dt=\dfrac{1}{2}\,t+k=\dfrac{1}{2}\, e^{x^2}+C$$

Comentario:
Otra forma, más directa, de resolverlo es poner la función del integrando bajo el signo diferencial:
$$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int d\left( e^{x^2} \right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$

$\square$

[nota del autor]

Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Enunciado:
Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Resolución:

Obtenemos las coordenadas de los puntos de intersección A i B resolviendo el sistema de ecuaciones

$\left. \begin{matrix} 9-x^2=y\\ 2x+1=y\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución

$A(-4,-7)$

$B(2,5)$

El área del recinto acotado és igual a

$\displaystyle \left|\int_{-4}^{2}\,\big( (9-x^2)-(2x+1)\big)\,dx \right| = \ldots = 36 \quad \text{unidades de \'area}$

Abordemos, ahora, la última parte del problema. El recinto acotado entre la parábola y el eje de abscisas genera, al girarlo alrededor de dicho eje, un cuerpo de revolución. Calcularemos su volumen teniendo en cuenta la simetria de dicho cuerpo.

Considerando el disco de radio $r(h)$ y de grosor $dh$ podemos sumar dichos infintos elementos diferencials de volumen de manera continua calculando la integral

$V=\int_{D}\,\pi\,\big(r(h)\big)^2\,dh$

puesto que $r$ representa la ordenada de un punto del recinto $9-x^2$; el grosor de dicho disco es la cantidad diferencial $dx$, y que los límites de integración (del recinto) són las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas

$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$

podemos concretar el cálculo así

$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\,\pi\,\big(9-x^2)^2\,dx = \ldots = \dfrac{1296}{5}\, \pi \quad \text{unidades de volumen}$

$\square$

[nota del autor]