Otro ejercicio de cálculo ( básico ) de probabilidades

ENUNCIADO. Una urna contine $3$ bolas blancas, $4$ verdes y $5$ rojas. Se extraen tres bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcular la probabilidad que obtener exactamente $2$ bolas blancas y $1$ bola verde.

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso pedido. Entonces, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{N(A)}{N}$, donde $N(A)=\text{PR}_{3}^{2,1}\cdot \text{VR}_{3,2}\cdot \text{VR}_{4,1}\cdot \text{VR}_{5,0}=108$ y $N=\text{VR}_{3+4+5,3}=12^3=1728$

Sustituyendo los datos y haciendo los cálculos, $P(A)=\dfrac{1}{16}$

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Otra forma de enfocar el problema consiste en verlo como un caso de probabilidad multinomial ( pruebas repetidas independientes con más de dos posibles resultados en cada realización ), por tanto
$$P(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)!}{x_{1}!\,x_{2}!\,x_{3}!\,x_{4}!}\,p_{1}^{x_1}\,p_{1}^{x_2}\,p_{2}^{x_2}\,p_{3}^{x_3}$$ en nuestro caso, con $x_1=3$, $x_2=1$ y $x_3=0$, siendo $p_1=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$, $p_{2}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ y $p_{3}=\dfrac{5}{12}$; en consecuencia,

$$P(3,1,0)=\dfrac{(3+1+0)!}{3!\cdot 1!\cdot 0!}\cdot (\dfrac{1}{4})^3\cdot (\dfrac{1}{3})^1\cdot (\dfrac{5}{12})^0 = \dfrac{1}{16}$$

  $\square$