Cálculo de probabilidades. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. En una empresa, el $40\,\%$ de los trabajadores son mujeres. Se sabe que están haciendo un determinado curso de formación el $20\,\%$ de los varones y el $30\,\%$ de las mujeres, respectivamente. Se elige, al azar, una persona que trabaje en la empresa. Se pide la probabilidad de que:
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación

SOLUCIÓN.

Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"

a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
$\square$