Un ejercicio sobre el espacio vectorial euclídeo tridimensional

ENUNCIADO. Dado el punto $P(0,1,1)$ y la recta $$r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1} $$
a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$

SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.

Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$

De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$

Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$

Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$

b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
      $=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$

Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$

Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$

$\square$