Ejercicios sobre modelos de variable aleatoria

ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria continua, $X$, cuya función de densidad de probabilidad ( función de cuantía ) es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{5}&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}}\\0&\text{si}&x \notin [1,6]\subset{\mathbb{R}}\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Compruébese que $f(x)$ cumple las condiciones para que sea una función de densidad y represéntese la gráfica de $f(x)$
b) Determínese la función de distribución de probabilidad $F(x)$ asociada a $f(x)$ y represéntese su gráfica
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que $X$ tome exactamente el valor $4$ ? ¿ y de que tome exactamente el valor $3$ ?
d) Calcúlese $P\{3 \le X \le 4\}$
e) Calcúlese la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$


SOLUCIÓN.
a)
Se cumplen las dos condiciones para que $f(x)$ sea una función de densidad:
  i) $f(x) \ge 0$ para todo valor de $x$ perteneciente al dominio de definición de la variable aleatoria $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$
  ii) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx \overset{\text{?}}{=} 1 $; en efecto,
        $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{1}{5}\,dx=\left[\dfrac{x}{5}\right]_{1}^{6}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}=1$

b)
Teniendo en cuenta que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es tal que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,x+C&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$ Falta determinar el valor de la constante de integración; teniendo en cuenta que $f(x)=0$ para $x\le 1$ y para $x\ge 6$, de una u otra condición indistintamente, se deduce que el valor de la misma; en efecto, sabemos que $F(1)=0$, y, por otra parte, $F(1)=\dfrac{1}{5}+C$, luego $\dfrac{1}{5}+C=0$, de donde se deduce que $C=-\dfrac{1}{5}$. De la misma manera, $F(6)=1=\dfrac{1}{5}\cdot 6+C \Rightarrow C=1-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{1}{5}$
En consecuencia, $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,(x-1)&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$

c)
Como la distribución es continua, $P\{X=3\}=P\{X=4\}=0$

d)
$P\{3 \le X \le 4\}=P\{X \le 4\}-P\{X \prec 3\}=P\{X \le 4\}-P\{X \le 3\}=$
  $=\displaystyle \int_{-\infty}^{4}\,f(x)\,dx-\int_{-\infty}^{3}\,f(x)\,dx=F(4)-F(3)=$
    $=\dfrac{1}{5}\,(4-1)-\dfrac{1}{5}\,(3-1)=\dfrac{1}{5}\,(3-2)=\dfrac{1}{5}$


e)
$\displaystyle \mu \overset{\text{def}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\,x\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{x}{5}\,dx=\left[\dfrac{x^2}{10}\right]=\dfrac{6^2}{10}-\dfrac{1^2}{10}=\dfrac{7}{2}$


$\displaystyle \sigma \overset{\text{def}}{=} \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\,(x-\mu)^2\,f(x)\,dx} \overset{\text{propiedad}}{=} \sqrt{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\,x^2\,f(x)\,dx\right)-\mu^2}$
  $\displaystyle =\sqrt{\left(\int_{1}^{6}\,\dfrac{x^2}{5}\,dx\right)-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\left[\dfrac{x^3}{15}\right]_{1}^{6}-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=$
    $\displaystyle =\sqrt{\dfrac{43}{3}-\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{12}}=\dfrac{5}{2\,\sqrt{3}}$

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Otro ejemplo en el que nos encontramos con el número pi en el cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Calcular:
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$$


SOLUCIÓN.
Si bien la función $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ no tiene primitiva elemental, teniendo en cuenta que la función de densidad de la distribución normal ( Gauss ) de parámetros $\sigma$ y $\mu$ es $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\,\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\,\sigma^2}}$ y que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx=1$, vemos que la función propuesta corresponde a este modelo de distribución con $\mu=0$ y $\sigma=1$ y por tanto
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=1$, luego $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2\pi}$

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