Cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.

ENUNCIADO. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a) Se sabe que el $40\,\%$ del total de los aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los aspirantes había un grupo de $8$ amigos, calcúlese la probabilidad de que al menos $2$ de ellos hayan sido seleccionados.
b) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que $P\{X\le 8.2\}=0.67$, calcúlese el valor de $\sigma$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $S$ a la variable aleatoria "número de amigos del grupo que han sido seleccionados". Los valores posibles de dicha v.a. son $0,1,2,3,\ldots,8$. Es claro que $S$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=8$ y probabilidad de éxito $p=40/100=2/5$ ( y probabilidad de fracaso $q=1-p=3/5$). Entonces, $\displaystyle P\{X\ge 2\}=1-P\{X\le 1\}=1-\left( \binom{8}{0}\cdot (2/5)^{0}\cdot (3/5)^8 + \binom{8}{1}\cdot (2/5)^{1}\cdot (3/5)^7 \right)=$
  $=\displaystyle 1-(3/5)^8 - 8 \cdot (2/5)\cdot (3/5)^7 \approx 0,8936$

b) La variable aleatoria $X$ (puntuación) sigue una distribución $N(5.6,\sigma)$. Entonces, tipificando la variable $X$, pasamos a la v.a. $Z$ que sigue una distribución normal $N(0,1)$, luego $P\{X\le 8.2\}=P\{Z\le (8.2-5.6)/\sigma\}=P\{Z\le 2.6/\sigma\}$; por otra parte, sabemos que dicha probabilidad ha de ser igual a $0.67$, así que, consultando en el interior de las tablas de la función de distribución $F(z)$, encontramos para dicho valor ( $0.67$ ), la abscisa crítica $z^*=0.44$, luego $$\dfrac{2.6}{\sigma}=0.44 \Leftrightarrow \sigma=\dfrac{2.6}{0.44}\approx 5,91$$
$\square$

Probabilidad y estadística. Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El $75\,\%$ de los productos fabricados son de tipo A y el $25\,\%$ de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un $5\,\%$ de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un $2,5\,\%$ de las veces.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.

SOLUCIÓN.

Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIA1DO. Una urna contiene $800$ bolas negras y $500$ bolas blancas. Se extraen al azar $200$ bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcúlese la probabilidad de obtener:
a) Más $150$ bolas blancas
b) Menos de $110$ bolas blancas
c) Un número de bolas blancas comprendido entre $90$ y $170$

SOLUCIÓN.

La distribución binomial de variable aleatoria se adapta perfectamente a este problema ya que las extracciones son independientes y sólo hay dos posibles resultados "bola blanca" o "bola negra" en cada una de las extracciones. Consderemos la variable aleatoria $X$, número de bolas blancas obtenidas en el conjunto de $200$ bolas extraídas, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,200\}$; $X$ sigue pues una distribución $B(n,p)$, donde $n=200$ y $p=\dfrac{500}{1300}=\dfrac{5}{13}$ ( probabilidad de 'éxito' ), con lo cual la probabilidad de 'fracaso' es $q=1-p=\dfrac{8}{13}$

a)
Se pide que calculemos $P\{X\succ 150\}=\displaystyle \sum_{i=151}^{200}\,\binom{200}{i}\,p^i\,(1-p)^{200-i}$; ahora bien, este cálculo es inviable, así que, como alternativa, intentaremos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y$. Veamos si se cumplen los requerimientos para que se pueda hacer eso: en efecto $n\,p=200\cdot \dfrac{5}{13}\succ 5$ y $n\,(1-p)=200\cdot \dfrac{8}{13}\succ 5$. Procedamos pues a realizar la aproximación. Sabemos que la variable aleatoria aproximadora $Y$ siguie una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p$ y $\sigma=|\sqrt{n\,p\,(1-p)}|$, esot es $Y$ sigue una distribución $N(76'92\,,\,6'88)$

Entonces $P\{X\succ 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \succ 150+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\succ \dfrac{150'5-76'92}{6'88}\}$
      $=P\{Z \ge 10'69\}=1-P\{Z\le 10'69\}=1-F(10'69) \approx 1-1=0$

b)
Seguimos, desde luego, con la aproximación por la normal:
$P\{X\prec 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \prec 110+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\le \dfrac{110'5-76'92}{6'88}\}$
      $P\{Z\le 4'88\}=F(4'88)\approx 1$


c)
$P\{90 \prec X \prec 170\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{ 89'5 \prec Y \prec 170'5\} \overset{(3)}{=}$
    $=P\{\dfrac{89'5-76'92}{6'88} \le Z \le \dfrac{170'5-76'92}{6'88}\}=P\{ 1'83 \le Z \le 13'60 \}=$
    $=P\{Z\le 13'60\}-P\{Z \le 1'83\}$
    $=F(13'60)-F(1'83)$
    $=1-0'9664$
    $=0'0336$


Aclaraciones:
(1),(2): Aproximación por la normal y corrección de continuidad ( o de Yates )
(3): tipificación de la variable normal $Y \rightarrow Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$

$\square$

Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIADO. Una fábrica produce un cierto tipo de dispositivos electrónicos. Por el control de calidad, se sabe que el $3\,\%$ de los dispositivos producidos son defectuosos. Se eligen al azar $500$ de los dispositivos fabricados. ¿ Cuál es la probabilidad de que a los sumo $20$ sean defectuosos ?.

SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", $X$, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,20\}$, sigue una distribución binomial $B(n\,,\,p)$, donde $n=500$ y $p=\dfrac{3}{100}$ ( luego $q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100}$ )

Entonces, $P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472$

Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y$. Como $n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5$ y $n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5$, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial $X$ ( que es $B(n,p)$ ) tomaremos pues una variable normal $Y$ que es $N(np,|\sqrt{npq}|)$, esto es la variable $Y$ que es $N(15\,,\,3'8144)$. Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de $Y$, esto es sumamos a $20$ media unidad, pasando por tanto a $20+0'5 = 20'5$.

(2) Tipificando la variable $Y$, mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}$, siendo $Z$ una distribución $N(0,1)$, podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ para calcular el área bajo la curva de la función de densidad $f(z)$ desde $-\infty$ hasta $k$, es decir $P\{Z\le k\}$, que es igual a la función de distribución en $k$, esto es $P\{Z\le k\}=F(k)$. Así pues la abscisa de $Y$, $20'5$, se transforma en $\dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419$ que es la abscisa correspondiente a $Z$, con cuyo valor entraremos en las tablas.

(3) La abscisa $1'4419$ ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores $1'44$ y $1'45$, que son los más próximos a $1'4419$, por defecto y por exceso:

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,44   | 0'9521
1,45   | 0'9265
1,67   | 0'9525
1,4419 | F(1'4419)
-------------------

$$\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}$$ por tanto $$F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472$$

$\square$