Un ejercicio de optimización. Aplicaciones de la derivada.

Optimización. Integración.

ENUNCIADO.
a) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes:
    $m_1=0'92$, $m_2=0'94$, $m_3=0'89$, $m_4=0'90$, $m_5=0'91$
Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los errores de los cuadrados sea mínima; es decir, el valor de $x$ para el que la función $$E(x)=(x-m_1)^2+(x-m_2)^2+(x-m_3)^2+(x-m_4)^2+(x-m_5)^2$$ alcanza un mínimo. Calcúlese dicho valor de $x$
b) Aplíquese el método de integración por partes para calcular la integral $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,\ln(x)\,dx$$

SOLUCIÓN.

Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización.

ENUNCIADO. El número de individuos ( expresado en millares ) en función del tiempo ( expresado en horas ) de una población bacteriana se describe mediante la siguiente función $$N(t)=2t\,(t-10)^2+50$$ Se pide:
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.

SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares

b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$

Optimización. Extremos relativos de funciones.

ENUNCIADO. Considérese un sector circular, de radio $r$, cuya longitud de arco viene fijada por la cantidad $\ell$, y tal que el perímetro de la figura así formada sea igual a $100$ milímetros. Para qué valor de $r$ el área es máxima ?

SOLUCIÓN. Procedemos a encontrar la función $f(r)$ que proporcione el valor del área del sector circular en función de la variable $r$. Como el área de un círculo de radio $r$ es $\pi\,r^2$, el área $\mathcal{A}$ del sector circular cuya longitud de arco sea $\ell$ se obtiene planteando una simple proporción directa $$\dfrac{\mathcal{A}}{\ell}=\dfrac{\pi\,r^2}{2\,\pi\,r} \Rightarrow \mathcal{A}=\dfrac{\ell\,r}{2}\quad \quad (1)$$ Por otra parte, la ligazón entre $\ell$ y $r$ viene determinada por la condición del problema $$100=2r+\ell$$ y por tanto $$\ell=2\,(50-r)$$ Así pues, sustituyendo en (1) y simplificando llegamos a $$\mathcal{A}\rightarrow f(r)=r\,(50-r)$$
Imponiendo la condición necesaria para encontrar extremos relativos $$f'(r)=0$$ vemos que $$1\cdot (50-r)-r=0$$ luego $$r^{*}=\dfrac{50}{2}=25\,\text{mm}$$ abscisa que corresponde a un máximo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, $$f''(25)=-2 \prec 0$$
$\square$

Extremos relativos de una función. Aplicaciones de la derivada. Optimización.

Aplicaciones de la derivada. Optimización

Observación: En el ejercicio se determina un máximo relativo en $x=\dfrac{10}{3}$ m; como el dominio de definición de la función es $\text{Dom}\,f=[0\,,\,5]$ m, podemos decir que dicho máximo relativo ( local ) corresponde también al máximo absoluto de la función.