Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
      a) $\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}$       b) $\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
El polinomio del denominador se puede factorizar de la forma $x\,(x-1)^2$, así pues, $$\dfrac{1}{x\,(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1} +\dfrac{C}{(x-1)^2}$$ por lo que deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A&+&B&&&=&0 \\ -2A&-&B&+&C&=&0 \\ A&&&&&=&1\end{matrix} \right.$$ cuya solución es $$\left\{\begin{matrix}A&&&&&=&1 \\ &&B&&&=&-1 \\ &&&&C&=&1\end{matrix} \right.$$ Entonces podemos escribir que
$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}=\int\,\dfrac{dx}{x}+\int\,\dfrac{(-1)\,dx}{x-1}+\int\,\dfrac{dx}{(x-1)^2}\overset{\text{integrales inmediatas}}{=}$
$$=\ln\,|x|-\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$$

b)
$\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx=\int \, \dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}\,x\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C\overset{(2)}{=}\ln \,(|\sin\,x|) + C$

(1): Cambio de variable $t:=\sin\,x$, luego $dt=\cos\,x\,dx$
(2): Deshaciendo el cambio de variable (1)