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domingo, 9 de diciembre de 2018

Determinación de una recta en el espacio vectorial afín R^3, dados dos puntos de la misma

Dados dos puntos de una recta r, A(x_A,y_A,z_A) y B(x_B,y_B,z_B) ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín \mathbb{R}^3, nos proponemos describir dicha recta de forma algebraica, esto es, encontrar de diversas maneras, unas ecuaciones que la representen.

Siendo O(0,0,0) el origen de coordenadas, y P(x,y,z) un punto cualquiera de la recta r, se cumple que \overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP}     (1), y teniendo en cuenta que \overset{\rightarrow}{AP} \propto \overset{\rightarrow}{AB} -- ambos vectores tienen la misma dirección, luego son dependientes uno del otro --, existirá un escalar \lambda tal que \overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma \overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB} que es una ecuación vectorial de la recta, que, también podemos expresar de la forma (x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}) Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de r, puesto que dependen de un parámetro, \lambda: \left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2) Despejando el parámetro \lambda de cada una de las tres ecuaciones anteriores, los segundos miembros deberán ser iguales, llegando así a una ecuación de la recta en forma continua r\equiv \dfrac{x-x_A}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\dfrac{z-z_A}{z_{B}-z_{A}} \quad \quad(3)

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determina el parámetro \lambda, una vez fijado el punto P, luego bien podemos expresarlo de la forma
\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda = z-z_A \end{matrix}\right\}
el cual ha tener rango igual a 1, ya que sólo puede haber una ecuación linealmente independiente; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema \left(\begin{array}{c|c} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right) ha de tener rango igual a 1 ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego los menores complementarios han de ser nulos, así que del orlado de la matriz a partir de algún elemento no nulo de la primera columna, pongamos, sin pérdida de generalidad, que el de la primera fila y primera columna, podemos escribir que

\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones linealmente independientes, que también determinan la recta r, y a las que denominamos ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de dicha recta r\equiv \left\{\begin{matrix}(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\ (x_B-x_A)(z-z_A)-(z_B-z_A)(x-x_A)=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (4) Estas dos ecuaciones han de corresponder a las de dos planos cuya intersección es precisamente la recta r.

Nota: Démonos cuenta de que estas mismas ecuaciones podemos escribirlas a partir de la doble igualdad de la ecuación de la recta en forma continua (3); y, ciertamente, podríamos escribir una tercera ecuación -- de igual manera que obtendríamos de igualar a cero el tercer menor complementario que se extrae de la matriz ampliada de los coeficientes --, (y_B-y_A)(y-y_A)-(z_B-z_A)(z-z_A)=0, pero ésta es una combinación lineal de las otras dos, y, por tanto aporta información redundante, pudiendo prescindir de ella. \square

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