Un ejercicio de aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. A un examen extraordinario se presentan alumnos de los grupos $A$ y $B$, teniendo ambos grupos el mismo número de alumnos. La probabilidad de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{A}$ es de $0,75$ y de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{B}$ es de $0,8$. Una vez realizado el examen, se elige a un alumno al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El alumno haya aprobado
b) Sabiendo que éste ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del grupo $A$ ?

SOLUCIÓN. Al elegir un alumno al azar, denotemos por $A$ al suceso ser del grup $\mathcal{A}$, por $B$ al suceso ser del grupo $\mathcal{B}$, y por Denominemos $X$ al suceso estar aprobado .

a)
Podemos escribir el suceso $X$ de la forma $X=(X\cap A) \cup (X \cap B)$, y como $(X \cap A) \cap (X\cap B)=\emptyset$, llegamos a $$P(X)=P(X \cap A)+P(X \cap B)$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(X)=P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)$$ Teniendo en cuenta que hay el mismo número de alumnos en los dos grupos, $P(A)=P(B)=0,5$; por otra parte, de la información del enunciado, $P(X|A)=0,75$ y $P(X|B)=0,8$ luego $$P(X)=0,75\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5=0,775$$

b)
Teniendo en cuenta que $P(X \cap A)=P(A \cap X)$ y por tanto $$P(X|A)P(A)=P(A|X)P(X)$$ se deduce de ello que $$P(A|X)=\dfrac{P(X|A)P(A)}{P(X)}$$ por lo que, con los datos, nos queda $$P(A|X)=\dfrac{0,75\cdot 0,5}{0,775}\approx 0,4839$$

$\square$