Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP}$     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$ , que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$ .

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

$\square$