Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$, que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$.

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

$\square$

Ecuación de un plano en el espacio afín

Sea $P$ un punto del espacio (e.a.) $\mathcal{A}$ y sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores libres no nulos linealmente independientes. Entonces el plano $\pi$ que pasa por $P$ y que contiene a dicho par de vectores se define como el conjunto de puntos $X$ tales que $\overset{\rightarrow}{PX}=\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}$, donde $\lambda$ y $\mu$ son escalares ( números reales ). Llamamos determinación lineal de $\pi$ a $(P,\vec{u},\vec{v})$.

Sea el espacio afín $\mathcal{A}$ de dimensión $3$, $\{O;\mathcal{B}\}$ ( donde $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ ) un sistema de referencia del e.a. y consideremos la d.l. de $\pi$, $(P,\vec{u},\vec{v})$. Entonces, como $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\overset{\rightarrow}{PX}$ ( triángulo de vectores ), podemos escribir la ecuación vectorial del plano $$ \pi \equiv \overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\lambda\,\vec{u}+\mu\,\vec{v}$$ esto es $$(x,y,z)=(x_P,y_P,z_P)+\lambda\,(u_1,u_2,u_3)+\mu\,(v_1,v_2,v_3)$$ con lo cual han de cumplirse las siguientes igualdades escalares $$\pi \equiv \left\{\begin{matrix}x=x_P+\lambda\,u_1+\mu\,v_1\\y=y_P+\lambda\,u_2+\mu\,v_2\\z=z_P+\lambda\,u_3+\mu\,v_3\end{matrix}\right.$$ que es un sistema de ecuaciones escalares; dichas ecuaciones constituyen las ecuaciones paramétricas del plano $\pi$

-oOo-
Despejando los términos que dependen de los parámetros $\lambda$ y $\mu$ ( considerados éstos como incógnitas) en cada una de las ecuaciones llegamos a $$\left\{\begin{matrix}\lambda\,u_1+\mu\,v_1=x-x_P\\\lambda\,u_2+\mu\,v_2=y-y_P\\\lambda\,u_3+\mu\,v_3=z-z_P\end{matrix}\right.$$ y, como $X$ pertenece a $r$, dicho sistema ha de ser compatible determinado, luego siendo el número de incógnitas $n=2$ ( $\lambda$ y $\mu$ ) tenemos que $$n=2=\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}=\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 & x-x_p \\ u_2 & v_2 & y-y_p \\ u_3 & v_3 & z-z_p \end{pmatrix}$$ Teniendo en cuenta ahora que $\text{rango}\begin{pmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{pmatrix}=2$ por ser $\vec{u}$ y $\vec{v}$ linealmente independientes, deberá cumplirse que $$\begin{vmatrix}u_1 & v_1 & x-x_P \\ u_2 & v_2 & y-y_P \\ u_3 & v_3 & z-z_P \end{vmatrix}=0 \quad \quad (1)$$
esto es
$\Leftrightarrow (x-x_P)\,\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}-(y-y_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix}+(z-z_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}=0 \quad \quad (1)$
Denotando por:
$A=\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $C=\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}$ y $D=-A\,x_P-B\,y_P-C\,z_P$,
podemos escribir (1) -- la ecuación del plano $\pi$ -- de la forma $$\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$$ que denominamos ecuación implícita o general del plano.

Plano determinado por tres puntos dados:
Sean tres puntos $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ de un plano $\pi$. Entonces, dos vectores de $\pi$ son $\vec{u}=\overset{\rightarrow}{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ y $\vec{v}=\overset{\rightarrow}{AC}=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$, así que la ecuación del plano, según (1) vendrá dada por
$$\begin{vmatrix}x_B-x_A & x_C -x_A & x-x_A \\ y_B-y_A & y_C -y_A & y-y_A \\ z_B-z_A & z_C -z_A & z-z_A \end{vmatrix}=0 \quad \quad (2) $$ el determinante ( del primer miembro ) es igual a este otro
$$\begin{vmatrix}1&0&0&0\\ x_A & x_B-x_A & x_C -x_A & x-x_A \\ y_A & y_B-y_A & y_C -y_A & y-y_A \\ z_A & z_B-z_A & z_C -z_A & z-z_A \end{vmatrix}$$
y sumando la primera columna a cada una de las otras tres es igual a
$$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x \\ y_A & y_B & y_C & y \\ z_A & z_B & z_C & z \end{vmatrix}$$ con lo cual, de (2), podemos escribir la ecuación del plano de la forma $$\pi \equiv \begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x \\ y_A & y_B & y_C & y \\ z_A & z_B & z_C & z \end{vmatrix}=0 \quad \quad (3)$$

Por consiguiente, la condición para que cuatro puntos $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$ y $D(x_D,y_D,z_D)$ sean coplanarios -- haciendo $x:=x_D$, $y:=y_D$ y $z:=z_D$ -- es la siguiente: $$\begin{vmatrix}1&1&1&1\\ x_A & x_B & x_C & x_D \\ y_A & y_B & y_C & y_D \\ z_A & z_B & z_C & z_D \end{vmatrix}=0$$

-oOo-Ejemplo:

ENUNCIADO. Determínese la ecuación general del plano $\pi$ ( $Ax+By+Cz+D=0$ ) que contiene a los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,0,0)$ y $C(0,1,1)$

SOLUCIÓN. El plano pedido es
$$\pi \equiv \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & x \\ 1 & 0 & 1 & y \\ 1 & 1 & 1 & z \end{vmatrix}=0$$ Procedamos a resolver el determinante:
$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 & x \\ 1 & 0 & 1 & y \\ 1 & 1 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_3-c-1 \,\rightarrow\, c_3}{=}\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 & x \\ 1 & 0 & 0 & y \\ 1 & 1 & 0 & z\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace 3.ª columna}}{=}(-1)\cdot (-1)^{2+3}\,\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 1 & 1 & z\end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 1 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_1-c_2 \,\rightarrow c_1}{=}\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & y \\ 0 & 1 & z\end{vmatrix}=1-z$
Así pues $$\pi \equiv z-1=0$$ donde $A=B=0$, $C=1$ y $D=-1$
$\square$

Geometría analítica

ENUNCIADO.
a) Determinar la distancia entre las rectas $r_1:x=y=z$ y $r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.$
b) Obténgase el punto de corte de la recta $s:x=2-y=z-1$ con el plano perpendicular a $s$ que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre $r_1$ y $r_2$.

Un vector director de $r_1$ es $\vec{u}_1=(1,1,1)$

Encontremos ahora un vector director de $r_2$. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma $\left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right.$ y despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de ellas, $\left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right.$ por lo que la ecuación en forma continua es $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1}$ y de ello deducimos que un vector director de $r_2$ es $\vec{u}_2=(-1,1,1)$

A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por $P_{r_1}$ y $P_{r_2}$ para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}$, ya que: i) si $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2$ y $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1$, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.

Es evidente que un punto de $r_1$ es $P_{r_1}=(0,0,0)$. Por otra parte, fijando el parámetro $\lambda$ ( pongamos que $\lambda:=0$ ) en las ecuaciones paramétricas de $r_2$, encontramos un punto de la misma, $P_{r_2}=(2,-1,0)$. Hecho esto, $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)$

Como $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0$, deducimos de ello que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ y por tanto $r_1$ y $r_2$ se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.

Para calcular la distancia $d(r_1,r_2)$, tendremos en cuenta que los vectores $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}$ forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres $\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|$, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante $d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|$ luego $$d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)$$
donde
$$\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2$$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2$$
Por otra parte $$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)$$ luego $\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|=2\,|\sqrt{2}|$. Y, finalmente, sustituyendo en (1) llegamos a $$d(r_1,r_2)=\dfrac{2}{2\,|\sqrt{2}|}=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$

b)
La recta $s$ puede expresarse de la forma ( continua ) $s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2)$, luego un vector director de la recta es $\vec{u}_s=(1,-1,1)$, que a su vez es un vector perpendicular al plano $\pi$ ( perpendicular a $s$ ); entonces, como la ecuación general de un plano es $Ax+By+Cz+D=0$ y $A=1$, $B=-1$ y $C=1$, podemos escribir $\pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) $. Y como sabemos que $O(0,0,0)$ es un punto de $\pi$, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de $O$ en la ecuación (3) ) que $D=0$, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es $$\pi:x-y+z=0$$

La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): $$s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.$$ que junto con la ecuación del plano $\pi:x-y+z=0$ nos lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ x&+&y&&&=&2 \\ x&&&-&z&=&-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&y&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.$$ con lo cual, despejando de la última ecuación, $z=\dfrac{4}{3}$; sustituyendo en la segunda, $y=\dfrac{5}{3}$; y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x=\dfrac{1}{3}$. Así pues el punto de corte viene dado por $( \dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{5}{3}\,,\,\dfrac{4}{3})$

$\square$