ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales en el que figura un un parámetro a\in \mathbb{R} en algunos de sus coeficientes \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&mz&=&1\\x&+&my&+&z&=&0 \\ mx&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right. Se pide:
a) Discútase dicho sistema en función de los valores de a
b) Resuélvase si m:=0
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)
\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)
Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:
I) Si m \in\{-2\,m\,1\}, \text{rango}(A)=2 y \text{rango}(A|B)=3, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible
II) Para m \notin \in\{-2\,m\,1\}, \text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b) Si m:=0, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.
Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.
Despejando z de la tercera ecuación llegamos a z=-\dfrac{1}{2}; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando y, encontramos y=\dfrac{1}{2}; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando x, se obtiene x=\dfrac{1}{2}
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