Un ejercicio de discusión de un sistema de ecuaciones lineales según los valores que pueda tomar un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales en el que figura un un parámetro $a\in \mathbb{R}$ en algunos de sus coeficientes $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&mz&=&1\\x&+&my&+&z&=&0 \\ mx&+&y&+&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase dicho sistema en función de los valores de $a$
b) Resuélvase si $m:=0$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Procedomos a reducirla por Gauss, obteniendo, en el proceso, matrices equivalente en rango a la original.

$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 1 & m & 1 & 0 \\ m & 1 & 1 & 0 \end{array}\right) \overset{f_1-f_2 \rightarrow f_2 \,,\, -m\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & (1-m)(1+m) & 1-m & 0 \end{array}\right)$
$$\overset{(-(1+m)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3 }{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & 1 \\ 0 & 1-m & m-1 & 1 \\ 0 & 0 & (1-m)(m+2) & -(1+m) \end{array}\right)$$

Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene que:

I) Si $m \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|B)=3$, y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible

II) Para $m \notin \in\{-2\,m\,1\}$, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A|B)=3$, que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b) Si $m:=0$, nos encontramos en el segundo caso del apartado anterior, luego el sistema es compatible determinado. Procedamos a encontrar la solución.

Habiendo reducido la matriz ampliada por Gauss, un sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&1\\&&y&-&z&=&1 \\ &&&&2z&=&-1\end{matrix}\right.$$

Despejando $z$ de la tercera ecuación llegamos a $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{2}$; y, finalmente, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, y despejando $x$, se obtiene $x=\dfrac{1}{2}$
$\square$