Cálculo de la función derivada

ENUNCIADO. Hállese la derivada de $$f(x)=e^{\dfrac{x\,\cos\,x}{x-2}}$$

SOLUCIÓN.
Aplicando la regla de la cadena,
$f'(x)=\displaystyle e^{\left(\dfrac{x\,\cos\,x}{x-2}\right)}\cdot \left( \dfrac{x\,\cos\,x}{x-2}\right)'=$
  $=e^{\left(\dfrac{x\,\cos\,x}{x-2}\right)}\cdot \dfrac{\left( (\cos\,x-x\,\sin\,x)(x-2)-x\,\cos\,x\right)}{(x-2)^2}=$
    $= e^{\left(\dfrac{x\,\cos\,x}{x-2}\right)}\cdot \dfrac{2x\,\sin\,x-x^2\,\sin\,x-2\,\cos\,x}{(x-2)^2}$
$\square$

Un ejercicio de análisis de funciones. Continuidad, derivación e integración

ENUNCIADO. Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}a+x\,\ln\,x & \text{si}& x > 0 \\ x^2\,e^x & \text{si}& x \le 0 \end{matrix}\right.$$
( donde $\ln$ denota logaritmo neperiano y $a \in \mathbb{R}$ ), se pide:
a) El valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$
b) Calcúlese $f'(x)$ donde sea posible
c) Calcúlese $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.
a) Para que $f(x)$ sea continua en $x=0$ ( que es el único problemas que puede presentar problemas en ese sentido ) debe cumplirse que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=\lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x \quad \quad (1)$$
Es evidente que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^+}\,x^2\,e^x=0$ y $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,(a+x\,\ln\,x)=a+\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x$
Por otra parte,
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x\,\ln\,x \overset{0\cdot \infty}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{\ln\,x}{1/x}\overset{\infty/\infty \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{(\ln\,x)'}{(1/x)'}=$
  $\displaystyle=\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,\dfrac{1/x}{-1/x^2}=-\lim_{x\rightarrow\, 0^-}\,x=0$
Así pues, de (1), podemos escribir $a+0=0$ luego $a=0$

b) Al no ser continua la función en $x=0$ no es derivable en dicho punto. Por otra parte, la derivada por la izquierda de la función $f(x)$ es $(x^2\,e^x)'=x\,e^x\,(2+x)$; y, la derivada por la derecha de dicha función es $(0+x\,\ln\,x)'=\ln\,x+1$. En resumen, $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}\ln\,x+1&\text{si}&x \succ 0 \\ \\ x\,e^x\,(2+x) &\text{si}&x \prec 0 \end{matrix}\right.$$

c) $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,x^2\,e^x\,dx \overset{(1),(2)}{=}F(0)-F(-1)=$
      $=\left(e^0\,(0-0+2)\right)-\left(e^{-1}\,((-1)^2-2\cdot(-1)+2)\right)=$
        $=2-\dfrac{5}{e}$

Aclaraciones:
(1) Procedemos a calcular una primitiva de la función integrando $x^2\,e^x$, empleando el método de integración por partes ( $\displaystyle \int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$ ): $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx=x^2\,e^x-2\,\int\,x\,e^x\,dx$, donde $u:=x^2$ ( y por tanto $du=2\,x\,dx$ ) y $dv:=e^x\,dx$ ( con lo cual $v=e^x$). A su vez, $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx = x\,e^x-\int e^x\,dx = x\,e^x -e^x = e^x\,(x-1)$; en consecuencia, $\displaystyle \int\,x^2\,e^x\,dx =x^2\,e^x-2\,e^x\,(x-1)=e^x\,(x^2-2x+2)+C$ y por tanto una función primitiva es $F(x)=e^x\,(x^2-2x+2)$
(2) En este último paso, aplicamos la regla de Barrow
$\square$

Un tren sale de una estación con una aceleración de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un tren surt d'una estació amb una acceleració constant de $0,40 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}$. Un passatger arriba a l'andana $6 \, \text{s}$ després que l'extrem final del tren abandonés la posició on ell, ara, es troba. Quina ha de ser la velocitat amb què s'ha de posar a córrer (suposem que ha de ser constant) per tal de poder donar-li abast ?

Solució:
Situem l'origen del sistema de referència en el punt on el passatger arriba a l'estació. Llavors, l'equació de posició del tren (m.r.u.a.) s'escriurà
            $x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (1)$
i l'equació que descriu la posició del passatger (m.r.u), des que comença a córrer, és
            $x(t)=v\,(t-6) \quad \quad (2)$
on $v$ és la velocitat mínima del passatger per tal de poder donar-li abast

Considerant la situació en què el passatger dóna abast al tren, igualarem els segons membres de (1) i (2)
            $v_{m}\,(t-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (3)$
on $v_{m}$ representa la velocitat mínima demanada, ja que, pel cap baix, ha de tenir el mateix valor que el pendent de la recta tangent en el punt d'abcissa $t_{a}$ (punt on el passatger dóna abast al tren) i, doncs, el seu valor per a $t=t_a$
                                            $\bigg(\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\bigg)_{t=t_a}^{'}$
ha de ser igual a la derivada de la funció de posició del tren (en el punt $t=t_a$)
és a dir
            $v_{m}=a\,t_{a} \quad \quad (4)$

Substituint aquest valor (4) a l'expressió (3), arribem a l'equació
            $a\,t_{a}\,\,(t_{a}-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t_{a}^2$
d'on obtenim
            $t_{a}=12 \, \text{s}$
i, finalment, posant aquest valor de a (4), trobem que
            $v_{m}=0,40 \cdot 12 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
                  $=4,8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
Si el passatger es mou a velocitats més petites, no podrà donar abast al tren.
$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=-x^2+5$ en el punt d'abscissa igual a $2$

Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients $m$ (pendent) i $k$ (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent $m$ és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.

a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
        $f^{'}(x)=-2\,x$
i en el punt P d'abscissa $x=2$ pren el valor
        $f^{'}(2)=-4$
que ha de correspondre al valor de $m$

b) En el punt P d'abscissa $x=2$ (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció $f(x)$, és igual a
        $f(2)=-2^2+5$
                  $=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
        $2\,m+k$
i, atès que $m=-4$ queda igual a
        $2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$

Igualant (1) i (2)
        $-8+k = 1$
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
        $k = 9$

Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
        $\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$

$\square$

[nota del autor]