Un ejemplo de cálculo de álgebra lineal con la herramienta GNU Octave

El software matemático GNU Octave —pertenece al software libre, y por tanto, es gratuito— es una valiosa herramienta empleada en el cálculo y en el análisis numérico —ofrece también un nutrido repertorio de utilidades para la elaboración de gráficas— que no es difícil de empezar a utilizar en Bachillerato si restringimos sus prestaciones al currículo propio de dichos estudios, si bien sus posibilidades van mucho más allá, orientándose realmente a los estudios universitarios, incluso a la investigación. Para animaros a que lo utilicéis, en este ejemplo muestro cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado empleando el método de la matriz inversa. És claro que no podréis usar esta herramienta en los exámenes de acceso a la universidad y en los exámenes ordinarios (por lo menos, de momento), pero os ayudará enormemente cuando estudiéis la asignatura en vuestra casas, permitiéndoos investigar en los conceptos y procedimientos, así como contrastar, comprobar o, simplemente, saltaros los procedimientos rutinarios (ya aprendidos) para resolver problemas más interesantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% Analicemos el sistema según el tipo de solución
% (teorema de Rouché-Fröbenius)
% luego el sistema es compatible; 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Los sustituyo en la primera ecuación
% Para ello, téngase en cuenta que 
% el valor de la variable x es X(1),
% y es X(2) 
% y z es X(3)
% ya que en el programa, X, es un arreglo ('array' o 'vector')
% que tiene estas tres componentes. 
% En efecto:

>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Los sustituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Los sustituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma.

$\diamond$

-oOo-

Referencias

[1] https://octave.org/. Página web de desarrollo y descarga del programa de cálculo GNU Octave.
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers, https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf. Manual actualizado de la herramienta GNU Octave.

Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ 3x&+&4y&+&5z&=&5 \\ 7x&+&9y&+&11z&=&a \end{matrix}\right.\;,\; \text{siendo}\; a\; \text{un parámetro real}$$ Se pide:
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente

SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.

Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:

  Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

  Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible

b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.

Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$

c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.

Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
$\square$

Un ejercicios de análisis de un sistema de ecuaciones lineales, en función de los valores de un parámetro, y resolución para determinados valores del mismo para los cuales el sistema es compatible

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&m\,y&&&=&1 \\ -2x&-&(m+1)\,y&+&z&=&-1\\ x&+&(2m-1)\,y&+&(m+2)\,z&=&2+2m \end{matrix}\right.$$
a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$
b) Resolver el sistema en el caso $m=0$

SOLUCIÓN.

Sistemas de ecuaciones lineales. Teorema de Rouché-Fröbenius

El teorema de Rouché-Fröbenius [Eugène Rouché (1832-1910), Ferdinand Georg Fröbenius (1849-1917)] permite analizar un sistema de ecuaciones lineales (según el tipo de solución que éste pueda tener) a partir del estudio del rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada.

A menudo, dicho estudio se realiza en función de los valores de uno o de varios parámetros ( que figuran como coeficientes del sistema de ecuaciones ). Dicho análisis permite investigar si existe o no solución, y, de existir ésta, de qué tipo es esa y para qué valores de los parámetros del escenario se puede dar, todo ello, antes de proceder a la resolución del sistema para cada uno de los escenarios posibles.

Consideremos un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas
$$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2p}x_n=&b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n=&b_m\end{matrix}\right.$$ -- donde $a_{ij}$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,n$ ) son los coeficientes del sistema, y $x_1,\ldots,x_n$ las incógnitas -- podemos expresarlo en forma matricial
$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}$$ esto es $$A_{m \times n}X_{n \times 1 }= B_{m \times 1}$$
Denominamos $A$ a la matriz incompleta ( pues no incluye los términos independientes ) de los coeficientes del sistema y $\widetilde{A} \equiv (A|B)$ a la matriz ampliada ( con los términos independientes ) de los coeficientes del sistema, esto es $A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots \\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn} \end{pmatrix}$ y $\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n} & b_1 \\a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n} & b_2 \\ \ldots & \ldots &\ldots& \ldots & \ldots \\ a_{m1}&a_{12}&\ldots&a_{mn} & b_m \\
\end{array}\right)$

El teorema de Rouché-Fröbenius dice lo siguiente:
I) Si $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\widetilde{A})$ el sistema es incompatible y si $r:=\text{rango}(A) =\text{rango}(\widetilde{A})$ el sistema es compatible, y el conjunto de $n$-tuplas que forman la solución del sistema constituye un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^n$, cuya dimensión es $n-r$

II) Si, siendo el sistema compatible, $r=n$, entonces el sistema es compatible determinado ( la dimensión del subespacio vectorial que representa la solución es $0$, pues está formada por un sólo vector ); y, si $r\prec n$, entonces el sistema es compatible indeterminado ( existen infinitas $n$-tuplas como solución, y la dimensión del subespacio vectorial que forma dicha solución es mayor que $0$ y menor que $n$ )

-oOo-
Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Estudiar y resolver ( cuando proceda ) el sistema de ecuaciones, en función de los valores que tome el parámetro $k$:
$$\left\{\begin{matrix}k\,x&+&3\,y&=&4\\ 3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&k\\ \end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. La matriz ampliada del sistema es $$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 3 & 4 \\
3 & -1 & 2 \\
2 & -1 & k \\
\end{array}\right)$$

Vamos a estudiar su rango ( así como el rango de la matriz $A$ ) por el método de los determinantes ( el rango de una matriz es igual al orden del mayor menor no-nulo ). Observemos que el determinante de la submatriz ( o menor ) formada por los elementos de la segunda y tercera filas y primera y segunda columnas es $$\begin{vmatrix}
3 & -1 \\
2 & -1 \\
\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2 \quad \text{y} \quad \text{rg}(\widetilde{A}) \ge 2$$
Orlando, ahora, dicha submatriz nos encontramos con un único determinante de orden tres
$$\begin{vmatrix}
k&3 & 4 \\
3 & -1&2 \\
2 & -1&k \\
\end{vmatrix} =0 \Leftrightarrow k^2+7k-8=0 \Leftrightarrow k=\left\{\begin{matrix}
1 \\
\\
-8
\end{matrix}\right.
$$
Nos encontramos, pues, con dos casos posibles:
I) Si $k \in \{-8\,,\,1\}$, $r:=\text{rg}(A)=\text{rg}(\widetilde{A})=2=n$ ( $n$ denota el número de incógnitas ), por lo que el sistema de compatible determinado
II) Si $k \notin \{-8\,,\,1\}$, $\text{rg}(A)=2 \neq \text{rg}(\widetilde{A})=3$, por lo que el sistema es incompatible

A continuación, procedemos a resolver el sistema para el caso ( compatible determinado ) en que $k \in \{-8\,,\,1\}$. Para ello, tenemos en cuenta que las dos últimas ecuaciones son linealmente independients ( la primera ha de ser combinación lineal de éstas ), ya que la submatriz de los coeficientes del sistema de orden dos que corresponde a estas dos ecuaciones es distinto de cero ( tal como hemos visto al principio ) y ello garantiza la independencia lineal de estas dos últimas ecuaciones ( el rango del sistema es $2$ ).

Ia) Si $k=1$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}3&-&y&=&2\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&1\\ x&&&=&1\\ \end{matrix}\right.$$

Ib) Si $k=-8$, el sistema equivalente es
$$\left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ 2\,x&-&y&=&-8\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}3\,x&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. $$
$$\sim \left\{\begin{matrix}30&-&y&=&2\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}&&y&=&28\\ x&&&=&10\\ \end{matrix}\right.$$

-oOo-
Ejemplo 2.
EUNCIADO. Estudiar en función de los valores del parámetro $k$ y resolver ( en los casos que proceda ) el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
-x & +& k\,y&+&z&=&0\\
2\,x & +& y&+&2\,k\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN. El sistema es homogéneo. La matriz ampliada es $$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right)$$
luego ( al ser homogéneo ), para cualquier valor de $k$, tendremos que $r:=\text{rg}(A|B)=\text{rg}(A)$ y, por tanto, el sistema es compatible.

Vamos a analizar ahora los posibles valores de $r$, pues si $r=n=3$ el sistema será compatible determinado y su solución será la trivial $(0,0,0)$; por otro lado, si $r \prec n=3$, el sistema será compatible indeterminado.

Reduciendo la matriz $\widetilde{A}$ por Gauss ( obteniendo así matrices equivalentes en rango ) obtenemos
$$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & k & 1 & 0 \\
2 & 1 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) \overset{e_1+e_2 \rightarrow e_2\,;\, -2\,e_1+e_3 \rightarrow e_3}{\sim} $$
$$ \sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & -1 & 2\,(k-1) & 0 \\
\end{array}\right) \overset{(1+a)\,e_e+e_2 \rightarrow e_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1+k & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2\,k & 0 \\
\end{array}\right) $$
Así, podemos distinguir dos casos:
I) Si $k=0$, sólo hay dos ecuaciones linealmente independientes ( dos filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=2 \prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
II) Si $k \neq 0$, las tres ecuaciones son linealmente independientes ( tres filas no identicamente nulas en la matriz reducida por Gauss), luego $r=3=n$, luego el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial ( como ya hemos avanzado ): $(0,0,0)$

Vamos ahora a resolver el sistema en las condiciones de (I). El sistema equivalente es: $$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&+&z&=&0\\
& & y&+&2\,z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$

Eligiendo $z$ como variable secundaria, hacemos $\lambda:=-z$ y, por tanto, reescribimos el sistema así
$$\left\{\begin{matrix}
x & +& y&=&\lambda\\\
& & y&=&2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Sustituyendo $y=2\,\lambda$ en la primera ecuación: $x=-\lambda$. Por consiguiente, la solución del sistema ( para el caso I ) viene dado por infinitas ternas ( puntos ) $$\{(-\lambda\,,\, 2\,\lambda\,,\,-\lambda): \lambda \in \mathbb{R} \}$$
Y, al tener un sólo grado de libertad ( el parámetro $\lambda$ ) podemos interpretar esta solución como los infinitos puntos de una recta en el espacio de dimensión $3$.

-oOo-
En muchas ocasiones, por simplicidad, no merece la pena trabajar con matrices para analizar el sistema ( empleando el teorema de Rouché-Fröbenius ), tal como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Sea el sistema de ecuaciones lineales
$$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
x &- &y &-& z& = & 0 \\
x &+ &y &+& m\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
Se pide:
a) Analizar el sistema en función de los valores que tome el parámetro $m \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema para $m:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss ( $f_1-f_2 \rightarrow f_2$; $f_1-f_3 \rightarrow f_3$ ) obtenemos el siguiente sistema equivalente al original $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& (1-m)\,z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
de donde deducimos que en el caso de que $1-m$ sea cero ( y por tanto, $m$ sea igual a $1$ ), el sistema es incompatible ya que se llega así a una contradicción ( $0 = -1$ ); por lo tanto, el sistema es incompatible para $m=1$. Para cualquier otro valor de $m$ las tres ecuaciones son linelamente independientes: el rango del sistema es $3$, valor que es igual al número de incógnitas; así, pues, por el Teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado para todo valor de $m$ distinto de $1$.

b)
Teniendo en cuenta, ahora, el valor de $m$ ha de ser ( condición del enunciado ) igual a $-1$, el sistema de ecuaciones a resolver ( ya reducido ) es $$\left\{\begin{matrix}
x &+ &y &+& z& = & 1 \\
& &2y &+& 2z& = & 1 \\
& & &+& 2z& = & -1 \\
\end{matrix}\right.$$
que, como ya se ha demostrado, tiene solución única ( por ser $m \neq 1 $ ). Entonces, despejando $z$ de la última ecuación, obtenemos $z=-\dfrac{1}{2}$; sustituyendo este valor en la segunda ecuación y despejando $y$, llegamos a $y=1$; y, finalmente, sustituyendo los valores de $x$ e $y$, que hemos encontrado en los dos pasos anteriores, en la primera ecuación, y despejando $x$, vemos que $x=\dfrac{1}{2}$.
$\square$

Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix} 4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\ x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\ 5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$ ...

ENUNCIADO
a) Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix}
4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\
x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\
5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
b) Resolver el sistema anterior para el caso $m=1$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
(a)
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$: $$\begin{pmatrix}
4 & 3 & m-1 \\
1 &-2 &m \\
5& m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$$

Realizando un análisis de rangos, recurriremos al Teorema de Rouché-Fröbenius para realizar la discusión del sistema en función de los valores que tome el parámetro $m$. La matriz de los coeficientes del sistema, ampliada con los términos independientes, es $$\tilde{A}=(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
1 & -2 & m & 1\\
5 & m & 1 & 1\\
\end{array}\right)$$ Procedemos, ahora, a reducirla por Gauss ( el rango de las matrices resultantes de aplicar operaciones elementales por filas es invariante ):

Con las operaciones $-4\,f_2+f_1 \rightarrow f_2\;-5\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 10+m & -5\,m+1 & -4\\
\end{array}\right)$$ y haciendo $-\dfrac{1}{11}\,(10+m)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 0 & \dfrac{3}{11}\,(m^2-8m+7) & \dfrac{4}{11}\,(m-1)\\
\end{array}\right)$$

Observemos que, en este caso, los valores que puedan tomar los coeficientes de la tercera fila determinan completamente el resultado de la discusión; para ello tendremos en cuenta los valores para los cuales se anulan dichos coeficientes: $m^2-8m+7=0 \Leftrightarrow x \in \{1\,,\,7\}$; y, además, $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$. Con lo cual, distinguimos los siguientes casos:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1=0$; por tanto, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $m^2-8m+7 \neq 0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, por lo que, al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

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OTRA FORMA de llevar a cabo la discusión pedida consiste en hacer uso del método de los determinantes para hallar los rangos de las matrices $A$ y $\tilde{A}$. Veámoslo a continuación.

Observemos que, por ejemplo, la submatriz de orden $2$ formada por los coeficientes de las filas primera y segunda y de las columnas primera y segunda ( es submatriz de $\tilde{A}$, y por tanto también de $A$ ) tiene determinante no nulo $$\begin{vmatrix}
4 & 3\\
1 & -2
\end{vmatrix} = -11 \neq 0$$ de donde podemos deducir que $\text{rg}(A) \ge 2$ y $\text{rg}(\tilde{A}) \ge 2$. Orlando dicha submatriz, encontramos sólo dos submatrices de un orden mayor, cuyos determinantes son:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}
4 & 3 & m-1\\
1 & -2 & m \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=-3\,(m^2-8m+7)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=m-1$$
Démonos cuenta, ahora, de que $\Delta_1=0 \Leftrightarrow m \in \{1\,,\,7\}$ y $\Delta_2=0 \Leftrightarrow m=1$. Llegados a este punto, ya podemos iniciar la discusión:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 = 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $\Delta_1 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(A)=3$ ) y $\Delta_2 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(\tilde{A})=3$ ). Al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

(b)
Si $m=1$, estamos en el caso I ( sistema compatible indeterminado con una variable secundaria ), y el sistema ( ya reducido ) se puede escribir de la forma $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&-&4\,z&=&-4 \\
\end{matrix}\right.$$
Como debemos elegir una variable secundaria, escogemos, por ejemplo, $\lambda:=z-4$, con lo cual nos queda $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&&&=&\lambda \\
& &&&z&=&\lambda+4 \\
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda ecuación, obtenemos $y=\dfrac{1}{11}\,\lambda$; y, sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos el valor de $x$: $x=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{11}\,\lambda$, esto es, $x=-\dfrac{3}{44}\,\lambda$.

Así pues, la solución del sistema viene dada por las infinitas ternas de números reales cuya estructura es $$\lbrace (-\dfrac{3}{44}\,\lambda\,,\,\dfrac{1}{11}\,\lambda\,,\,\lambda+4):\,\lambda \in \mathbb{R} \rbrace$$
$\square$