Derivación de funciones que incluyen el valor absoluto. Un ejemplo

En este ejercicio de derivación vamos a calcular las funciones derivadas primera, segunda y tercera de la siguiente función real de una variable real $$f(x)=x^2+|x^2-1|$$

Interpretando el significado del término que lleva el valor absoluto mediante la definición del mismo, $$|x^2-1|=\left\{\begin{matrix}x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\-(x^2-1) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ podemos escribir la función dada expresándola como una función definida a trozos, al objeto de analizar así fácilmente la continuidad y la derivabilidad de la misma: $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+(x^2-1) & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1+0 & \text{si}& x\in \{-1,1\}\\x^2+ \left(-(x^2-1)\right) & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$ esto es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}2x^2-1 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 1 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

Esta función es continua para todos los valores de $x$ de su dominio de definición, que es $(-\infty,+\infty)$, es decir en toda la recta real, $\mathbb{R}$; sin embargo, no es derivable ni en $x=-1$ ni $x=1$, ya que en estos puntos las derivades laterales no tienen el mismo valor, ya que es bien fácil comprovar que $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=-2\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=0$, y $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=0\neq \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\,\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=2$. En los demás puntos del dominio de continuidad (el conjunt de los números reales en el caso que nos ocupa) la función sí es derivable, y fácilmente —aplicando la regla de derivación de las funciones potenciales en los dos tramos de la función dada— se obtiene que $$f'(x)=\left\{\begin{matrix}4x & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in [-1,1]\end{matrix}\right.$$

En esta figura (gráfica obtenida con GeoGebra) se muestra la función $f(x)$ en color verde, y la función derivada obtenida en color rojo:

La función derivada, $f'(x)$, cuyo dominio de definición es, también, toda la recta de los números reales, es discontinua en $x=-1$ y en $x=1$, luego para estos valores de $x$ no existe la derivada segunda, la cual se obtiene fácilmente aplicando la regla de la derivación potencial en los dos tramos de la función derivada primera: $$f''(x)=(f'(x))'=\left\{\begin{matrix}4 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

Al no estar definida la función derivada segunda en $x=-1$ y tampoco en $x=1$, la derivada tercera $f'''(x)$ no existe para dichos valores de $x$, y para el resto, aplicando la regla de derivación de las funciones constantes en los dos tramos de la función segunda derivada que: $$f'''(x)=(f''(x))'=\left\{\begin{matrix}0 & \text{si}& x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \\ 0 & \text{si}& x\in (-1,1)\end{matrix}\right.$$

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Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}$ ( donde se toman sólo los valores positivos de la raíz cuadrada ), se pide:
a) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de $f(x)$
b) Calcular $f'(4)$
c) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $Ox$, y las rectas $x=-1$ y $x=1$

SOLUCIÓN.

Derivadas sucesivas

ENUNCIADO. Calcular la derivada de orden $n$ de la función $f(x)=\ln\,x$

SOLUCIÓN. Procedamos a obtener las derivadas sucesivas:
$f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$
  $f^{''}(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}$
    $f^{'''}(x)=(-x^{-2})'=2\,x^{-3}$
      $f^{iv}(x)=(2\,x^{-3})'=-2\cdot 3\,x^{-4}$
        $f^{v}(x)=(-2\cdot 3\,x^{-4})'=2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5}$
          $f^{vi}(x)=(2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5})'=-2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\,x^{-6}$
            $\ldots$

De todo ello es fácil inducir que $f^{n}(x)=(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!\,x^{-n}$
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Dada la función ...

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$, se pide:
a) Determinar su dominio de definición, las rectas asíntotas y los puntos de corte con los ejes
b) Calcular la derivada, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes de coordenadas con la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$

SOLUCIÓN.
a)
Dominio de definición:
Tanto $6-x$ como $e^{x/3}$ son funciones que están definidas ( y son continuas ) en todos los puntos de $\mathbb{R}$, así que $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$ también está definida en todo $\mathbb{R}$. Por consiguiente $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$

Puntos de corte con los ejes:
Punto de corte con el eje $Oy$. La ordenada del punto de corte con el eje de ordenadas es $f(0)=(6-0)e^{0}=-6$. Por tanto el punto de corte con dicho eje es $A(0,6)$

Puntos de corte con el eje $Ox$. Las abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas son las raíces de $f(x)$. Recordemos que $x$ es raíz de $f(x)$ si y sólo si $f(x)=0$, luego $(6-x)\,e^{x/3}\Leftrightarrow x=6$, por lo que hay un único punto de corte con el eje de abscisas a distancia finita del origen de coordenadas, que es $B(6,0)$.

Además, adelantamos que, como $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=0$, la función toma contacto con el eje de abscisas en $-\infty$; ésto es así por tener $f(x)$ una asíntota horizontal, cuya ecuación es, por tanto, $y=0$.

Rectas asíntotas:
Veamos si hay alguna asíntota oblicua. La ecuación de toda asíntota oblicua es $y=mx+k$, donde $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$. Observemos que, siendo $f'(x)=(6-x)'(e^{x/3})+(6-x)(e^{x/3})'=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, entonces $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f'(x)=0$, luego la pendiente de dicha asíntota es $m=0$; se trata de la asíntota horizontal de la que hablábamos antes. Comprobemos que $k=0$; en efecto,

$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-0\cdot x=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,(6-x)\,e^{x/3}\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{6-x}{e^{-x/3}}=\dfrac{\infty}{\infty}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{(6-x)'}{(e^{-x/3})'}=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{-1}{-\frac{1}{3}\,e^{-x/3}}=\dfrac{3}{\infty}=0$

Por otra parte no hay más asíntotas oblicuas, pues el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f'(x)$ diverge.

Tampoco hay asíntotas verticales, ya que no existe ningún $k \in \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow k}\,f(x)=\pm \infty$

Así pues, sólo hay una asíntota, $\text{r}:y=0$

b)
Hemos calculado ya la primera derivada de la función: $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$. Veamos si $f(x)$ presenta extremos relativos ( que son todos los valores de $x$ donde la función es derivable y cuya derivada es nula ): $$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=3$$ luego la función tiene un único extremos relativo. A continuación, debemos determinar qué tipo de extremo relativo es; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada.

Derivando la primera derivada obtenemos $$f''(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)'\,e^{x/3}+(1-\dfrac{1}{3}x)\,(e^{x/3})'=\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{4}{3}x)\,e^{x/3}$$ Observemos que $f''(3)\prec 0$, luego $x=3$ es la abscisa de un máximo relativo. Su ordenada es igual a $f(3)=(6-3)\,e^{3/3}=3e\approx 8,15$

Intervalos de crecimiento/decrecimiento:
$I_{\uparrow}=(-\infty,3)$ y $I_{\downarrow}=(3,+\infty)$



A modo de resumen, dibujamos la gráfica de la función:

c)
La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $f'(0)$. Recordemos que $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, luego $m=(1-0)e^0=1$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $\text{t}:y=1\cdot x+k$. Procedemos a calcular el valor de $k$. Como en $x=0$, la ordenada de la función ( $f(0)=(6-0)\,e^{0}=6$ ) y la ordenada la ordenada de la recta tangente ( que es igual a $0\cdot 1 +k$ ) han de tener el mismo valor, $$6=0+k$$ luego $k=6$, por tanto la ecuación de la recta tangente pedida es $$\text{t}:y=x+6$$ que aparece representada en la figura, junto con la región del plano cuya área queremos determinar

El punto de corte de la recta tangente con el eje de abscisas es $C(-6,9)$; en efecto, imponiendo que $y=0$, $x+6 \Leftrightarrow x=-6$

Así, el área de la región triangular pedida ( coloreada en la figura ) es $$\displaystyle \int_{-6}^{0}\,(x+6)\,dx=\left[\dfrac{1}{2}x^2+6x\right]_{-6}^{0}=18$$

$\square$

Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]