Un ejercicio sobre los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un $80\,\%$ de los casos. Si un enfermo es tratado con placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del $10\,\%$. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo. Se pide:
a) Calcúlese la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado
b) Si de un paciente elegido al azar se sabe que ha mejorado, hállese la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento

SOLUCIÓN.
En referencia al paciente elegido al azar, denotemos por $A$ al suceso "ser tratado con medicamento"; por $B$, al suceso "ser tratado con placebo", y por $M$ al suceso "experimentar mejora".

a)
Los sucesos $A$ y $B$ constituyen un conjunto completo de sucesos, pues son disjuntos y el espacio muestral $\Omega$ es la unión de los dos ( decimos que $A$ y $B$ son una partición de $\Omega$ ). Observemos la siguiente figura:

Como $M=(M\cap A)\cup (M \cap B)$ y los sucesos $M\cap A$ y $M\cap B$ son incompatibles, esto es $(M\cap A)\cap (M\cap B)=\emptyset$, entonces podemos escribir $$P(M)=P(M\cap A) + P(M\cap B)$$ Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(M)=P(M|A)\cdot P(A)+P(M|B)\cdot P(B)$$ y, con los datos del problema llegamos a la expresión de la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) $$P(M)=\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}=45\,\%$$

b)
Como $P(A \cap M) = P(M \cap A)$ tenemos que $P(A|M)\cdot P(M)=P(M|A)\cdot P(A)$, de donde se deduce ( teorema de Bayes ): $$P(A|M)=\dfrac{P(M|A)\cdot P(A)}{P(M)}$$ Sustituyendo los datos y el resultado anterior: $$P(A|M)=\dfrac{(8/10)\cdot (1/2)}{9/20}=\dfrac{8}{9}\approx 89\,\%$$

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Nota 1: Podemos resolver también el problema con la ayuda de la tabla de contingencia:

Nota 2: También puede ser útil el siguiente diagrama de árbol

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Insistiendo acerca de los teorema de la probabilidad total y de Bayes. Uso de las tablas de contingencia ( al final del artículo )

Lo expliqué a mis alumnos de cuarto de ESO. Os puede ir bien también a vosotros, pues no está de más volver a hablar de estos dos importantes teoremas y sus aplicaciones. Veréis que el ejercicio es muy sencillo, pero merece la pena que os fijéis bien en las tres variantes de resolverlo ( empleando el lenguaje formal, utilizando diagramas en árbol, y, por último, usando una tabla de contigencia ). Seguid este enlace.

Un problema de probabilidades en el tiro al plato. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO.
Dos tiradores, Antonio y Berta, practican el tiro al plato. Antonio acierta $1$ de cada $3$ tiros; y Berta, $1$ de cada $2$. Sin ver a los tiradores cómo disparan, un observador oye $2$ disparos, y, al mirar el plato en el aire, se da cuenta de que ninguno disparo ha tenido éxito. Se pide:
a) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Antonio
b) La probabilidad de que los dos disparos los haya realizado Berta
c) La probabilidad de que cada uno de los dos haya realizado uno de los dos disparos.

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por: $A_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Antonio"; $A_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Antonio"; $B_1$ al suceso "el primer disparo lo ha realizado Berta"; $B_2$ al suceso "el segundo disparo lo ha realizado Berta", y $F$ al suceso "los dos tiros han resultado fallidos"

Por el Teorema de la Probabilidad Total:
$P(F)=P(F | A_1 \cap A_2)\;P(A_1 \cap A_2)+P(F | B_1 \cap B_2)\;P(B_1 \cap B_2)+$
  $=P(F | A_1 \cap B_2)\;P(A_1 \cap B_2) + P(F | B_1 \cap A_2)\;P(B_1 \cap A_2) \quad \quad (1)$

y por el Teorema de Bayes:
$$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (2)$$

$$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (3)$$

$P(A_1 \cap B_2) = \dfrac{P(F | A_1 \cap B_2)\,P(A_1 \cap B_2)}{P(F)} \quad \quad (4)$

$P(B_1 \cap A_2) = \dfrac{P(F | B_1 \cap A_2)\,P(B_1 \cap A_2)}{P(F)} \quad \quad (5)$


Desde luego, $P(A_1)=P(A_2)=P(B_1)=P(B_2)=\dfrac{1}{2}$. Y, com es de suponer, los dos disparos ( que son seguidos ), son independientes, luego
$P(A_1 \cap A_2)=P(B_1 \cap B_2)=P(A_1 \cap B_2)=P(B_1 \cap A_2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$

Por otra parte,
$(P(F | A_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{9}$
$(P(F | B_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{4}$
$(P(F | A_1 \cap B_2)=(1-\dfrac{1}{3})\cdot (1-\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{3}$
$(P(F | B_1 \cap A_2)=(1-\dfrac{1}{2})\cdot (1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$

Sustituyendo estos valores en (1)
$P(F)=\dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}$
    $=\dfrac{49}{144}$


Con todo ello ya podemos dar respuesta a las preguntas de los tres apartados:
a) Sustituyendo en (2):
$P(A_1 \cap A_2 | F ) = \dfrac{P(F | A_1 \cap A_2)\,P(A_1 \cap A_2)}{P(F)}$
  $=\dfrac{(4/9)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{16}{49}$

b) Sustituyendo en (3):
$P(B_1 \cap B_2 | F ) = \dfrac{P(F | B_1 \cap B_2)\,P(B_1 \cap B_2)}{P(F)}$
  $=\dfrac{(1/4)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{9}{49}$

c) Sustituyendo en (4) y (5):
$P((A_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap A_2) | F )=P((A_1 \cap B_2) | F )+P((B_1 \cap A_2) | F )$
  $=\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}+\dfrac{(1/3)\cdot (1/4)}{49/144}=\dfrac{24}{49}$

Observación:
Comprobemos que $$P(A_1 \cap A_2 | F )+P(B_1 \cap B_2 | F )+P((A_1 \cap B_2)\cup (B_1 \cap B_2))=1$$
En efecto
$$\dfrac{16}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{24}{49}=\dfrac{49}{49}=1$$

Nota:
Para facilitar el planteamiento de este tipo de ejercicios suele ser útil el dibujo de un diagramación en árbol, que he omitido.

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El problema de los tres discos

ENUNCIADO. Una bolsa contiene tres discos: uno de ellos tiene ambas caras blancas; el segundo tiene una de las dos caras pintadas de blanco y en la otra hay un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco, y, el tercer disco tiene ambas caras con un círculo rojo concéntrico pintando sobre fondo blanco. Extraemos uno de los discos al azar, y, depositándolo encima de la mesa ( sin examinar el disco ), observamos que la cara que mira hacia arriba tiene un círculo rojo pintado sobre fondo blanco. En relación a la cara inferior, calcúlese la probabilidad de que tenga también un círculo rojo concéntrico pintado sobre fondo blanco y de que no tenga dicho círculo rojo.


SOLUCIÓN.

Denotemos por $\mathcal{R}$ al suceso tener el círculo rojo en la cara inferior; por $R_2$, que dicho disco tenga el círculo rojo en las dos caras; por $R_1$, tenerlo en una sola cara, y, por $R_0$ no tenerlo en ninguna cara.

Consideramos la extracción al azar de uno de los discos. Es claro que $\{R_2,R_1,R_3\}$ es un conjunto completo de sucesos, esto es, constituye una partición del espacio muestral $\Omega$, ya que: i) $\Omega = R_2 \cup R_1 \cup R_3$ y, ii), $R_2 \cap R_1 = \emptyset$, $R_2 \cap R_0 = \emptyset$, $R_1 \cap R_0 = \emptyset$. Denotando por $\mathcal{R}$ al suceso extraer un disco que, al depositarlo sobre la mesa ( sin examinarlo ) tenga el círculo rojo concéntrico en la cara que mira hacia arriba, podemos escribir ( Teorema de la Probabilidad Total ): $$P(\mathcal{R})=P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)+P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_1)+P(\mathcal{R}|R_0)\,P(R_0)$$ que, con lo dicho en el enunciado es igual a $$P(\mathcal{R})=1\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}+0\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}$$

Según la pregunta formulada, deberemos calcular $P(R_2|\mathcal{R})$ y $P(R_1|\mathcal{R})$. Para ello, recurriremos al Teorema de Bayes:

$$P(R_2|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_2)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)}{1/2}=\dfrac{2}{3}$$

$$P(R_1|\mathcal{R})=\dfrac{P(\mathcal{R}|R_1)\,P(R_2)}{P(\mathcal{R}}=\dfrac{1\cdot (1/3)\cdot (1/2)}{1/2}=\dfrac{1}{3}$$

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Nota: Desde luego, no hace falta decir que $$P(R_0|\mathcal{R})=0$$
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Concluimos que, si bien podría parecer -- sin hacer ningún cálculo -- que la probabilidad de que en la cara inferior es la misma de tener o no el círculo rojo, vemos ahora que, de tener que apostar por qué hay en la cara inferior, deberíamos hacerlo por "tener otro círculo rojo" ya que es más probable que no tenerlo, pues $\dfrac{2}{3} \succ \dfrac{1}{3}$; en concreto, hay el doble de probabilidad de que en la cara inferior tenga el círculo rojo que de que no lo tenga.

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Cálculo de probabilidades. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

ENUNCIADO. En una empresa, el $40\,\%$ de los trabajadores son mujeres. Se sabe que están haciendo un determinado curso de formación el $20\,\%$ de los varones y el $30\,\%$ de las mujeres, respectivamente. Se elige, al azar, una persona que trabaje en la empresa. Se pide la probabilidad de que:
a) Esté haciendo el curso de formación
b) Sea un varón, sabiendo que está haciendo dicho curso de formación

SOLUCIÓN.

Denotemos por $M$ al suceso "elegir una persona de la empresa que sea mujer"; por $V$, al suceso "elegir una persona de la empresa que sea vaŕon", y por $F$ al suceso "elegir una persona de la empresa que esté haciendo el curso de formación"

a)
Como los sucesos $V$ y $M$ constituyen una partición del espacio muestral, por el teorema de la Probabilidad Total, podemos escribir $$P(F)=P(F|V)P(V)+P(F|M)P(M)$$ De los datos del problema, sabemos que $P(M)=0,4$, y, por tanto, $P(V)=1-0,4=0,6$; y, además, $P(F|V)=0,2$ y $P(F|M)=0,3$; por consiguiente, $$P(F)=0,2\cdot 0,6+0,3 \cdot 0,4 = 0,24$$

b)
Por el teorema de Bayes, podemos escribir $$P(V|F)=\dfrac{P(F|V)P(V)}{P(F)}$$ y, con los datos del problema, encontramos $$P(V|F)=\dfrac{0,2\cdot 0,6}{0,24}=0,5$$
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Probabilidad y estadística. Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. En una fábrica se elaboran dos tipos de productos: A y B. El $75\,\%$ de los productos fabricados son de tipo A y el $25\,\%$ de tipo B. Los productos de tipo B salen defectuosos un $5\,\%$ de las veces, mientras que los de tipo A salen defectuosos un $2,5\,\%$ de las veces.
a) Si se fabrican $5000$ productos en un mes, ¿ cuántos de ellos se espera que sean defectuosos ?
b) Un cierto mes, por motivos logísticos, se cambió la producción, de modo que se fabricaron exclusivamente productos de tipo A. Sabiendo que se fabricaron $6000$ unidades, determinar, aproximando la distribución por una normal, la probabilidad de que haya más de $160$ unidades defectuosas.

SOLUCIÓN.

Aplicaciones de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. El $60\,\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\,\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\,\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a) Determínese el porcentaje global de artículos devueltos.
b) ¿ Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados ?

SOLUCIÓN. Consideremos la experiencia aleatoria 'elegir un producto al azar' ( entre todos los productos vendidos en esos almacenes ). Denotemos por $D$ al susceso "elegir un producto de los que se han devuelto", y, por $R$ al suceso "elegir un producto rebajado".

a) Calculemos la probabilidad de que el producto elegido sea de los que han sido devueltos. Esta probabilidad podemos interpretarla ( desde el punto de vista estadístico ) como el porcentaje de productos devueltos ( en el conjunto de productos vendidos ). Entonces, $$P(D)=P\left( (D \cap R ) \cup ( D \cap \bar{R} \right)$$ como los sucesos $D \cap R$ y $D \cap \bar{R}$ son incompatibles, llegamos al resultado del teorema de la probabilidad total, $$P(D)=P(D \cap R ) + P( D \cap \bar{R})$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada, $$P(D)=P(D|R)\cdot P(R)+P(D|\bar{R})\cdot P(\bar{R})$$ Poniendo los datos del problema, llegamos a $$P(D)=\dfrac{15}{100}\cdot \dfrac{60}{100}+\dfrac{8}{100}\cdot (1-\dfrac{60}{100})=\dfrac{61}{500}=0,122$$ resultado que interpretamos como el porcentaje pedido ( porcentaje global de artículos devueltos ), que es, por tanto, del $12\,\%$

b)
Intepretamos la probabilidad $P(R|D)$ como el porcentaje de artículos devueltos que fueron adquiridos con precios rebajados, que, por el teorema de Bayes lo podemos calcular de la manera siguiente $$P(R|D)=\dfrac{P(D|R)\cdot P(R)}{P(D)}$$ Y con los datos del problema, así como con el resultado calculado en el apartado anterior, es igual a $$P(R|D)=\dfrac{(15/100)\cdot (60/100)}{61/500}=\dfrac{45}{61} \approx 74\,\%$$

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Un ejercicio de aplicación de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. A un examen extraordinario se presentan alumnos de los grupos $A$ y $B$, teniendo ambos grupos el mismo número de alumnos. La probabilidad de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{A}$ es de $0,75$ y de que apruebe un alumno del grupo $\mathcal{B}$ es de $0,8$. Una vez realizado el examen, se elige a un alumno al azar. Calcúlese la probabilidad de que:
a) El alumno haya aprobado
b) Sabiendo que éste ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que sea del grupo $A$ ?

SOLUCIÓN. Al elegir un alumno al azar, denotemos por $A$ al suceso ser del grup $\mathcal{A}$, por $B$ al suceso ser del grupo $\mathcal{B}$, y por Denominemos $X$ al suceso estar aprobado .

a)
Podemos escribir el suceso $X$ de la forma $X=(X\cap A) \cup (X \cap B)$, y como $(X \cap A) \cap (X\cap B)=\emptyset$, llegamos a $$P(X)=P(X \cap A)+P(X \cap B)$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(X)=P(X|A)P(A)+P(X|B)P(B)$$ Teniendo en cuenta que hay el mismo número de alumnos en los dos grupos, $P(A)=P(B)=0,5$; por otra parte, de la información del enunciado, $P(X|A)=0,75$ y $P(X|B)=0,8$ luego $$P(X)=0,75\cdot 0,5+0,5\cdot 0,5=0,775$$

b)
Teniendo en cuenta que $P(X \cap A)=P(A \cap X)$ y por tanto $$P(X|A)P(A)=P(A|X)P(X)$$ se deduce de ello que $$P(A|X)=\dfrac{P(X|A)P(A)}{P(X)}$$ por lo que, con los datos, nos queda $$P(A|X)=\dfrac{0,75\cdot 0,5}{0,775}\approx 0,4839$$

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Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

Sobre una enfermedad infecciosa asintomática se sabe que la tiene un $4\,\%$ de la población. Un cierto test de diagnóstico es capaz de detectar la infección en el $95\,\%$ de las personas que están realmente infectadas, pero da como infectadas a un $5\,\%$ de las personas que en realidad no lo están. Calcular la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) Dé positivo en el test
b) Habiendo dado positivo en el test, no tenga la enfermedad ( falso positivo )
c) Habiendo dado positivo en el test, tenga la enfermedad

SOLUCIÓN.
a)
Una partición del espacio muestral $\Omega$ (asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona al azar') viene dada por $\{E,\bar{E}\}$, donde $E$ representa el suceso "tener la enfermedad" y $\bar{E}$ el suceso "no tener la enfermedad". Sea $D$ el suceso, "dar positivo en el test". Entonces, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir $$P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|\bar{E})P(\bar{E})$$ así que, poniendo los datos del problema, encontramos $$P(D)=0,95\cdot 0,04+0,05\cdot (1-0,04)=0,086$$

b)
Aplicando el teorema de Bayes, $$P(\bar{E}|D)=\dfrac{P(D|\bar{E})P(\bar{E})}{P(D)}= \dfrac{0,05\cdot (1-0,04)}{0,086}=0,5581$$

c)
$$P(E|D)=1-P(\bar{E}|D)=1-0,5581=0,4419$$ que, de forma alternativa, también podemos calcular aplicando, otra vez, el teorema de Bayes: $$P(E|D)=\dfrac{P(D|E)P(E)}{P(D)}= \dfrac{0,95\cdot 0,04}{0,086}=0,4419$$

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Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. En un IES, el $40\,\%$ del alumnado son chicas. El $60\,\%$ de los chicos tiene pendiente alguna asignatura del curso anterior, y el $60\,\%$ de las chicas no tiene ninguna asignatura pendiente del curso anterior. Se escoge una persona al azar entre el alumnado. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga pendiente alguna asignatura del curso anterior ?
b) Si se sabe que la persona elegida no tiene pendiente ninguna asignatura del curso anterior, ¿ cuál es la probabilidad de que se a chico ?

SOLUCIÓN. Referiéndonos a la persona que debemos escoger al azar, denotemos por: $A$ al suceso "ser chico", por $B$ al suceso ser chica, y por $S$ al suceso "tener alguna asignatura pendiente del curso anterior".

Los datos del problema son los siguientes:
  i) $P(B)=0,4$, de lo cual se deduce fácilmente que
      $P(A)=P(\bar{B})=1-P(A)=1-0,4=0,6$
  ii) $P(\bar{S}|B)=0,6$ y, por tanto, $P(S|B)=1-P(\bar{S}|B)=1-0,6=0,4$
  iii) $P(S|A)=0,6$

a) Por el teorema de la probabilidad total,
$P(S)=P(S|A)\,P(A)+P(S|B)\,P(B)$
  $=0,6 \cdot 0,6 +0,4 \cdot 0,4$
  $=0,36+0,16$
  $=0,52$

b)
Por el teorema de Bayes
$P(A|\bar{S})=\dfrac{P(\bar{S|A})\,P(A)}{P(\bar{S})}$
  $\overset{(1,2)}{=}\dfrac{P(\bar{S}|A)\,P(A)}{P(\bar{S}|A)\,P(A)+P(\bar{S}|B)\,P(B)}=\dfrac{0,6\cdot 0,4}{0,6\cdot 0,4 + 0,6\cdot 0,4 }=\dfrac{0,24}{0,48}=0,5$


Aclaraciones:
(1) aplicando, otra vez, el teorema de la probabilidad total
(2) $P(\bar{S}|A)=1-P(S|A)=1-0,6=0,4$

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Aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. eL $40\,\%$ de los sábados Marta va al cine, el $30\,\%$ va de compras y el $30\,\%$ restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el $60\,\%$ de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo ocurre el $20\,\%$ de las veces que va de compras, y el $80\,\%$ de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto
b) Si se sabe que Marta ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿ cuál es la probabilidad de que vayan al cine ?

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por: $C$ el suceso 'ir al cine'; $R$, 'ir de compras'; $V$, 'jugar a videojuegos'; y $B$, 'ir con los compañeros de baloncesto'. Según el enunciado, $P(C)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(R)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$, $P(V)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$; $P(B|C)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5} $; $P(B|R)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$ y $P(B|V)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$

Entonces, $B=(B\cap C) \cup (B\cap R) \cup (B\cap V)$ y como $(B\cap C) \cap (B\cap R) \cap (B\cap V) = \emptyset$ ( son incompatibles ), podemos escribir $P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap R)+P(B\cap V)$ que, por la definición de probabilidad condicionada, puede ponerse de la forma ( teorema de la probabilidad total ) $$P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|R)P(R)+P(B|V)P(V)$$ y con los datos obtenemos $$P(B)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{50}$$ luego la probabilidad pedida de $\bar{B}$ ( 'no quedar con los compañeros de baloncesto' ) es igual a $$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\dfrac{27}{50}=\dfrac{23}{50}$$

b)
$$P(C|B)\overset{\text{teorema de Bayes}}{=}\dfrac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{27}{50}}=\dfrac{4}{9}$$
$\square$