Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen de forma sucesiva y sin reemplazamiento tres cartas de una baraja española compuesta de 40 cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que las tres sean del mismo palo [Nota: en una baraja española hay 4 palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
Vamos a resolver el problema de dos maneras distintas, llegando, claro está, a la misma solución. La primera, corresponde al método directo de aplicación de la combinatoria y la regla de Laplace, y la segunda, a un proceso constructivo, sencillo y eficiente.

Procedimiento I.
Hay $\binom{4}{3}$ posibilidades a la hora de escoger los tres palos, y para cada uno de ellos $\text{V}_{10,3}$ maneras de escoger tres cartas distintas de un mismo palo, por lo que el números de casos favorables al suceso pedido es igual a $\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}$. Por otra parte, en total, tenemos $\text{V}_{40,3}$ posibilidades de escoger tres cartas cualesquiera. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es igual a $$\dfrac{\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}}{\text{V}_{40,3}}=\dfrac{4\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{40\cdot 39 \cdot 38}=\dfrac{12}{247} \approx 0,0486$$

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Procedimiento II.
Otra forma de pensar el problema pasa por aplicar la probabilidad compuesta, considerando por tanto las situaciones precedentes que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$. Ahora bien, como no sólo podemos elegir el palo de bastos sino cualquiera de los cuatro, el número de maneras de elegir palo es $4$, con lo cual, la probabilidad pedida es $4\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$ que es igual a la calculada mediante el método directo: $$\dfrac{12}{247}$$

$\square$