Acerca del determinante de una matriz (cuadrada) de tipo triangular

Una propiedad interesante sobre el determinante de una matriz triangular, ya sea ésta superior o bien inferior, es que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Subrayemos el hecho de que si no utilizamos esta propiedad, el cálculo del determinante a partir del algoritmo general puede llevarnos mucho trabajo, cuánto más si el orden de la matriz es mayor que $2$. Notemos que si alguno de los elementos de la diagonal principal es nulo, el determinante es igual cero (no haría falta en tal caso hacer ningún cálculo). Veamos un par de ejemplos:

Ejemplo 1

Calculemos el determinante de la matriz $$A=\begin{pmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{pmatrix}$$ Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular superior), entonces, tal y como se ha dicho arriba, basta multiplicar los elementos de la diagonal principal: $$\begin{vmatrix}2&144&-1&6 \\ 0&3&24&58 \\ 0&0&-5&128 \\ 0&0&0&-3 \end{vmatrix} = 2\cdot 3 \cdot (-5) \cdot (-3) = 90$$

Ejemplo 2

Averigüemos si la siguiente matriz posee inversa $$B=\begin{pmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{pmatrix}$$ Recordemos que una matriz cuadrada posee inversa (y en tal caso es única) si y sólo si es regular, y, por tanto, si y sólo si su determinante es distinto de cero. Observemos que se trata de una matriz triangular (triangular inferior), entonces, al igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, para calcular el valor de su determinante basta multiplicar los elementos de la diagonal principal, y como uno de ellos es nulo, no hace falta realizar ninguna operación, pues el valor de dicho determinante ha de ser cero: $$\begin{vmatrix}6&0&0&0 \\ 14&2&0&0 \\ 121&-9&0&0 \\ 1264&6&137&45 \end{vmatrix} = 6\cdot 2 \cdot 0 \cdot 45 = 0$$ En consecuencia, la matriz $B$ no es regular, con lo cual podemos afirmar que no posee matriz inversa.

Aplicación del desarrollo de Laplace para calcular un determinante de orden arbitrario. Ejemplo con un determinante de orden 4

Aproximación al concepto de determinante. Determinantes de orden 2 y sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas compatibles determinados

determinante de una matriz cuadrada

A classe, hem introduït la noció de determinant a partir de la troballa d'un mètode pràctic per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites – mètode que en la seva generalització a m equacions amb m incògnites es coneix amb el nom de mètode de Cramer – i definint-lo de manera pràctica com el nombre real que resulta de multiplicar els coeficients de la diagonal principal d'una matriu quadrada. Així, si el sistema d'equacions és: a11·x+a12·y = b1 a21·x+a22·y=b2 Recordeu que ho podem posar en forma matricial s'escriu A·X=B on A és la matriu dels coeficients del sistema i B és la matriu columna dels termes independents. Si resolem el sistema pel mètode de substitució podem escriure l'expressió genèrica de la solució (si el sistema és compatible i determinat, és clar) de la manera següent: x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) On la matriu Ax és la que resulta de substituir la 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B, i Ay és la que resulta de substituir 2a 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B. Aquí entenem per det(A) el nombre a21·a11-a21·a12, per det(Ax) el nombre b1·a21-b2·a12, per det(Ay) el nombre b2·a11-b1·a21. I, en general, entenent pel determinant d'una matriu genèrica M, d'ordre 2x2, això: det(M) = m21·m11-m21·m12. D'aquesta manera podem anar forjant la definició general d'això que entenem per determinant ... Es pot comprovar que el mètode es generalitza pel cas d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites: a11x+a12y + a13z = b1 a21x+a22y + a23z = b2 a31x+a32y + a33z = b3 Efectivament, si es torna a repetir el procés de substitució per trobar la solució (suposem que és un sistema compatible i determinat): x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) z = det(A_z)/det(A) Ara, però, la matriu dels coeficients A és d'ordre 3x3 i les matrius de les incògnites i dels termes independents són matrius 3x1. El procés de substitució acaba quallant en una regularitat que porta a definir el determinant de les matrius 3x3 de la manera: det(A) = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a31·a22·a31 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32       (Això és coneix amb el nom de regla de Sarrus ) I, de manera semblant (seguint la mateixa seqüència d'índexs) els determinants de les matrius Ax, Ay, i Az. Això ens empeny a definir el determinant d'una matriu genèrica M d'ordre 3x3 qualsevol de la forma: det(M) = m11·m22·m33 + m12·m23·m31 + m13·m21·m32 – m31·m22·m31 – m12·m21·m33 – m11·m23·m32. Entenem, doncs, el determinant d'una matriu quadrada com una aplicació del conjunt de les matrius quadrades en el conjunt dels nombres reals, amb les propietats que podem veure ressenyades als manuals i llibres de text. Recordeu que les matrius columna com ara X o bé B les interpretem com a vectors d'un espai vectoria V. Per tant, l'expressió A.X = B es pot entendre com una transformació (representada per la matriu dels coeficients A) o aplicació lineal de l'espai vectorial V sobre sí mateix. Pel que fa a l'operació determinant (que ens dóna un escalar) es pot entendre de la manera següent: Definició de determinant d'una matriu quadrada nxn: Donat un espai vectorial V i una matriu A quadrada (n files i n columnes) [aij] que, com és sabut, representa una aplicació lineal de V en V, es defineix el determinant de la matriu A (det A) com l'escalar resultant de l'aplicació del producte cartesià de l'espai vectorial V n vegades per si mateix, Vn, en el conjunt dels nombres reals R   (1) com la suma On representa una de les n! permutacions del conjunt (1,2,3,...,n). El conjunt de les n! permutacions s'anomena grup simètric de (1,2,3,...,n) i es denota Sn. La quantitat (signatura de la permutació) pot prendre tan sols un dels valors {-1,1}: el valor -1 si la permutació es pot descompondre en un nombre senar de transposicions per retornar a l'ordre natural (1,2,...,n), i el valor +1 si el nombre de transposicions necessàries és un nombre parell. Per exemple, la permutació (2,1,3) té signatura igual -1, ja que la permutació conté una sola transposició per tal que (2,1,3) es transformi en (1,2,3) [2->1;1->2]; per això, direm que la signatura d'aquesta permutació és igual a -1. Per contra, la permutació (2,3,1) es descompon en dues transpocions, [2->1;1_>2] i [3->2;2->3], i com que el nombre de transposicions és parell, la signatura de la permutació és igual a +1. Propietat: Regla general per calcular un determinant d'ordre n (desenvolupament de Laplace) Es pot demostrar, a partir de la definició que acabem de donar, que es pot calcular el valor d'un determinant d'ordre n, a partir del desenvolupament per la fila i-èssima tal i com s'indica a continuació [també es pot desenvolupar per una de les columnes/files]:     $\displaystyle \text{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}$ tenint en compte que cij és el cofactor del coeficient aij de la matriu A.     $c_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$ on $m_{ij}$ és el valor del menor complementari que resulta de suprimir la fila $i$-èssima i la columna $j$-èssima corresponentes a $a_{ij}$ === (1)     Aquests tipus d'operacions es coneixen també amb el nom de formes lineals de Vn, o n forma

[nota del autor]

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]