Aplicaciones de los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. El $60\,\%$ de las ventas en unos grandes almacenes corresponden a artículos con precios rebajados. Los clientes devuelven el $15\,\%$ de los artículos que compran rebajados, porcentaje que disminuye al $8\,\%$ si los artículos han sido adquiridos sin rebajas.
a) Determínese el porcentaje global de artículos devueltos.
b) ¿ Qué porcentaje de artículos devueltos fueron adquiridos con precios rebajados ?

SOLUCIÓN. Consideremos la experiencia aleatoria 'elegir un producto al azar' ( entre todos los productos vendidos en esos almacenes ). Denotemos por $D$ al susceso "elegir un producto de los que se han devuelto", y, por $R$ al suceso "elegir un producto rebajado".

a) Calculemos la probabilidad de que el producto elegido sea de los que han sido devueltos. Esta probabilidad podemos interpretarla ( desde el punto de vista estadístico ) como el porcentaje de productos devueltos ( en el conjunto de productos vendidos ). Entonces, $$P(D)=P\left( (D \cap R ) \cup ( D \cap \bar{R} \right)$$ como los sucesos $D \cap R$ y $D \cap \bar{R}$ son incompatibles, llegamos al resultado del teorema de la probabilidad total, $$P(D)=P(D \cap R ) + P( D \cap \bar{R})$$ y por la fórmula de la probabilidad condicionada, $$P(D)=P(D|R)\cdot P(R)+P(D|\bar{R})\cdot P(\bar{R})$$ Poniendo los datos del problema, llegamos a $$P(D)=\dfrac{15}{100}\cdot \dfrac{60}{100}+\dfrac{8}{100}\cdot (1-\dfrac{60}{100})=\dfrac{61}{500}=0,122$$ resultado que interpretamos como el porcentaje pedido ( porcentaje global de artículos devueltos ), que es, por tanto, del $12\,\%$

b)
Intepretamos la probabilidad $P(R|D)$ como el porcentaje de artículos devueltos que fueron adquiridos con precios rebajados, que, por el teorema de Bayes lo podemos calcular de la manera siguiente $$P(R|D)=\dfrac{P(D|R)\cdot P(R)}{P(D)}$$ Y con los datos del problema, así como con el resultado calculado en el apartado anterior, es igual a $$P(R|D)=\dfrac{(15/100)\cdot (60/100)}{61/500}=\dfrac{45}{61} \approx 74\,\%$$

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