Otro ejercicio de cálculo de límites

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$