¿Qué son los elementos pivote de una matriz?

Dada una matriz $M$ de tamaño $m \times n$, se denomina pivote (de una cierta fila) al primer elemento distinto de cero de dicha fila. Este concepto es importante a la hora de leer los textos que hablan de la reducción de una matriz, para poder entenderlos bien. Así, por ejemplo, en la siguiente matriz, de tamaño $3 \times 4$, $A=\begin{pmatrix}0&0&2&-1\\ 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\end{pmatrix}$, el pivote de la primera fila es $2$; el de la segunda fila es $4$ y el de la tercera es $8$.

Calculemos el rango de dicha matriz:

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas no identicamente nulas que quedan tras haber reducido por Gauss (escalonado) dicha matriz. Tengamos en cuenta que el rango de una matriz no se altera al cambiar el orden de las filas; así que, para escalonar una matriz, podemos ordenar las filas de manera que el pivote de la primera esté a la izquierda del de la segunda, y el de la segunda a la izquierda del de la tercera, siguiendo así en el caso de que hubiesen más filas; a continuación, procederíamos a realizar las combinaciones entre filas que permitiesen obtener los ceros por debajo de cada pivote (en las respectivas columnas). En el caso que nos ocupa, no hace falta hacer ninguna combinación entre filas: basta con cambiar la primera fila por la segunda, y, a continuación, la segunda por la tercera, con lo cual vemos que $\text{rango}(A)=\text{rango}\,\begin{pmatrix} 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\\ 0&0&2&-1\end{pmatrix}=3$ ya que, habiendo quedado escalonada la matriz que nos ocupa, el número de filas no identicament nulas es $3$· $\diamond$

Un ejemplo de cálculo de álgebra lineal con la herramienta GNU Octave

El software matemático GNU Octave —pertenece al software libre, y por tanto, es gratuito— es una valiosa herramienta empleada en el cálculo y en el análisis numérico —ofrece también un nutrido repertorio de utilidades para la elaboración de gráficas— que no es difícil de empezar a utilizar en Bachillerato si restringimos sus prestaciones al currículo propio de dichos estudios, si bien sus posibilidades van mucho más allá, orientándose realmente a los estudios universitarios, incluso a la investigación. Para animaros a que lo utilicéis, en este ejemplo muestro cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado empleando el método de la matriz inversa. És claro que no podréis usar esta herramienta en los exámenes de acceso a la universidad y en los exámenes ordinarios (por lo menos, de momento), pero os ayudará enormemente cuando estudiéis la asignatura en vuestra casas, permitiéndoos investigar en los conceptos y procedimientos, así como contrastar, comprobar o, simplemente, saltaros los procedimientos rutinarios (ya aprendidos) para resolver problemas más interesantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% Analicemos el sistema según el tipo de solución
% (teorema de Rouché-Fröbenius)
% luego el sistema es compatible; 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Los sustituyo en la primera ecuación
% Para ello, téngase en cuenta que 
% el valor de la variable x es X(1),
% y es X(2) 
% y z es X(3)
% ya que en el programa, X, es un arreglo ('array' o 'vector')
% que tiene estas tres componentes. 
% En efecto:

>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Los sustituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Los sustituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma.

$\diamond$

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Referencias

[1] https://octave.org/. Página web de desarrollo y descarga del programa de cálculo GNU Octave.
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers, https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf. Manual actualizado de la herramienta GNU Octave.

Discusión del rango de una matriz en función de un parámetro

Cálculo del rango de una matriz m x n por el método de los menores complementarios y aplicación del algoritmo del orlado

Análisis del rango de una matriz en función de un parámetro

Análisis y resolución ( en los casos que sea procedente ) de un sistema de ecuaciones lineales en función de los valores de un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{pmatrix}a&1&1 \\ 1 & a&1 \\ 1 & 1 &a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ siendo $a$ un parámetro. Se pide:
a) Analizar el sistema de ecuaciones en cuanto a sus soluciones, en función de los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema en los casos que exista solución

SOLUCIÓN.
a) Vamos a realizar el análisis de rangos, reduciendo la matriz $\tilde A$ de los coeficientes del sistema (incluyendo el vector columna de los términos independientes) por Gauss. Las siguientes son matrices equivalentes en rango:

$\left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 1 & a&1 &0\\ 1 & 1 &a&1\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_2\,,\ -a\, f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 1-a &1-a^2&-a\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_3}{\sim} $

$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 0 &(1-a)(a+2)&-(a+1)\end{array}\right)$

Nota: Se han omitido los cálculos algebraicos detallados que aparecen al manejar las expresiones dependientes de $a$, pidiendo al lector/a que los reproduzca

Observemos que, por el teorema de Rouché-Fröbenius:
I) Si $a:=1$, $1=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es incompatible para este valor de $a$; y, si $a:=-2$, entonces $2=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es también incompatible para este otro valor de $a$. En resumen:
  Si $a \in \{-2\,,\,1\}$, entonces el sistema es incompatible.

II)   Si $a \notin \{-2\,,\,1\}$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(\tilde{A})=3 = n$ ( donde $n$ es el número de incógnitas ), por lo que el sistema es compatible determinado.

b)
Resolvamos el sistema en las condiciones de (II). Un sistema equivalente en solución al original y reducido por Gauss es:
$$\left\{\begin{matrix}a\,x & + & y &+& z&=&0 \\ & &(1-a)\, y &-& (1-a)\,z&=&1 \\ & &&& (1-a)(a+2)\,z&=&-(a+1) \end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+2)}$$ sustituyendo en la segunda ecuación y despejando $y$ llegamos a ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$y=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$ y sustituyendo los valores encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, obtendremos el valor para la primera incógnita ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$x=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$

$\square$

Determine, si es posible, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de modo que ...

ENUNCIADO.
a) Determine, si es posible, los parámetros $\alpha$ y $\beta$ de modo que se verifique la igualdad: $$\alpha\,\begin{pmatrix}3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}+\beta\,\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$
b) Determine los posibles valores de $\lambda$ para que el rango de la matriz $A$ sea $2$, donde $$A=\lambda\,\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

SOLUCIÓN. Como
a)
$$\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}$$ la ecuación pedida puede escribirse de la forma $$\alpha\,\begin{pmatrix}3 & -4 \\ 5 & -1 \end{pmatrix}+\beta\,\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix}$$ Operando el primer miembro, nos queda $$\begin{pmatrix}3\alpha+\beta & -4\alpha \\ 5\alpha+4\beta & -\alpha+4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -8 \\ -2 & -5 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\alpha+\beta=3 \\ -4\alpha=-8 \\ 5\alpha+4\beta=-2\\ -\alpha+\beta=-5\end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación se obtiene $\alpha=2$ y sustituyendo este valor en cualquier otra de las ecuaciones obtenemos $\beta=-3$.

b)
$A=\lambda\,\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
    $=\begin{pmatrix}2\lambda & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
       $=\begin{pmatrix}2\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda+1 \end{pmatrix}$

Teniendo en cuenta ahora que $$\begin{vmatrix}2\lambda+1 & 2\lambda \\ \lambda & 3\lambda+1 \end{vmatrix}=4\lambda^2+5\lambda+1=0\Leftrightarrow\lambda=\left\{\begin{matrix}-1 \\ -1/4\end{matrix}\right.$$ concluimos que $\text{rango}(A)=2 \Leftrightarrow \lambda \notin \{-1,-1/4\}\subset \mathbb{R}$
$\square$

Dadas las matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}
1&2 &3 \\
0& t &2 \\
3& -1 &t
\end{pmatrix}
\,,\,
I=\begin{pmatrix}
1&0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 &1
\end{pmatrix}$, se pide:

a) Hallar el rango de $A$ en función de $t$
b) Calcular $t$ para que $\text{det}(A-t\,I)=0$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
El determinante de la submatriz formada por los coeficientes de las filas primera y tercera y de las columnas primera y segunda es distinto de cero $$\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 &2
\end{vmatrix}=2 \neq 0$$
luego el rango de $A$ es mayor o igual que $2$. Veamos si es igual a $3$, calculando el único menor de orden tres ( el determinante de la propia matriz ) $$\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2\\
0 & 2 & t\\
3 & t & -1\\
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow t^2-9t+14=0 \Leftrightarrow t \in \{2\,,\,7\}$$
Por tanto $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si}& t \in \{ 2\,,\,7 \} \\
\\
3 & \text{si}& t \notin \{ 2\,,\,7 \}\\

\end{matrix}\right.$$

b)
$$A-t\,I=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-t\,\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-\,\begin{pmatrix}
t & 0 & 0\\
0 & t & 0\\
0 & 0 & t\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & t-t & 2\\
3 & -1 & t-t\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}$$
luego el determinante de dicha matriz es
$$\text{det}(A-t\,I)=\begin{vmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{vmatrix}$$
que es igual a
$$\overset{\text{Laplace, 2.ª fila}}{=}2\cdot (-1)^{2+3}\,\begin{vmatrix}
1-t & 2 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix}=-2\,(t-7)$$
Entonces
$$-2\,(t-7)=0\Leftrightarrow t=7$$

Nota:
A los valores de $t$ que cumplen esta condición les llamamos valores propios ( autovalores ) de la matriz $A$

$\square$