Un ejemplo de cálculo de álgebra lineal con la herramienta GNU Octave

El software matemático GNU Octave —pertenece al software libre, y por tanto, es gratuito— es una valiosa herramienta empleada en el cálculo y en el análisis numérico —ofrece también un nutrido repertorio de utilidades para la elaboración de gráficas— que no es difícil de empezar a utilizar en Bachillerato si restringimos sus prestaciones al currículo propio de dichos estudios, si bien sus posibilidades van mucho más allá, orientándose realmente a los estudios universitarios, incluso a la investigación. Para animaros a que lo utilicéis, en este ejemplo muestro cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado empleando el método de la matriz inversa. És claro que no podréis usar esta herramienta en los exámenes de acceso a la universidad y en los exámenes ordinarios (por lo menos, de momento), pero os ayudará enormemente cuando estudiéis la asignatura en vuestra casas, permitiéndoos investigar en los conceptos y procedimientos, así como contrastar, comprobar o, simplemente, saltaros los procedimientos rutinarios (ya aprendidos) para resolver problemas más interesantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% Analicemos el sistema según el tipo de solución
% (teorema de Rouché-Fröbenius)
% luego el sistema es compatible; 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Los sustituyo en la primera ecuación
% Para ello, téngase en cuenta que 
% el valor de la variable x es X(1),
% y es X(2) 
% y z es X(3)
% ya que en el programa, X, es un arreglo ('array' o 'vector')
% que tiene estas tres componentes. 
% En efecto:

>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Los sustituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Los sustituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma.

$\diamond$

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Referencias

[1] https://octave.org/. Página web de desarrollo y descarga del programa de cálculo GNU Octave.
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers, https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf. Manual actualizado de la herramienta GNU Octave.

Discusión de un sistema de ecuaciones lineales en función de un parámetro real y resolución del mismo en un determinado caso.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}kx&+&(k+1)y&+&z&=&0 \\ -x&+&ky&-&z&=&0\\(k-1)x&-&y&&&=&-(k+1)\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$
b) Resolver el sistema para $k:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&k+1&1&0\\ -1&k&-1&0\\k-1&-1&0&-(k+1)\end{array}\right)$$ Observemos que la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de las filas segunda y tercera y por los elementos de las columnas segunda y tercera tiene determinante distinto de cero $\begin{vmatrix}k&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, de lo cual se desprende que el rango de la matriz $A$ ( y también el de la matriz $A^*$ ) es, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz obtenemos dos menores complementarios de orden $3$:

$$M_1=\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-2\,(k^2-1)=0\Leftrightarrow k\in \{-1,1\}$$

$$M_2=\begin{vmatrix}k+1&1&0\\k&-1&0\\-1&0&-(k+1)\end{vmatrix}=(k+1)(2k+1)\Leftrightarrow k\in \{-1,1/2\}$$

Por consiguiente, y según el teorema de Rouché-Fröbenius:

i) Si $k=-1$, $M_1=M_2=0$ y por tanto los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $A^*$ son menores que $3$, por consiguiente $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y dos variables principales ($n$ denota el número de variables del sistema).

ii) Si $k=1$, $M_1=0 \Rightarrow \text{rango}(A)=2$ y $M_2\neq 0\Rightarrow \text{rango}(A^*)=3$, y, al no coincidir los rangos el sistema es incompatible para dicho valor del parámetro $k$

iii) Para $k=-1/2$, así como para cualquier otro valor de $k$ distinto de $-1$ y de $1$, los rangos coinciden $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, y el sistema es compatible determinado.


b)
Si $k:=-1$ estamos en el caso (i) -- sistema compatible indeterminado con $1$ variable secundaria --. La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es ahora $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&1&0\\ -1&-1&-1&0\\-2&-1&0&0\end{array}\right)$$ Recordemos que el rango de dicha matriz es $2$ para este valor de $k$. Por otra parte, la tercera fila de dicha matriz es combinación lineal de las dos primeras ( el menor complementario formado por los elementos de las filas primera y segunda y por los elementos de las columnas primera y segunda es distinto de $0$, con lo cual un sistema equivalente está formado por las dos primeras filas $$\left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0 \\ -x&-&y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Desingando $z$ como variable secundaria: $z:=\lambda$, podemos escribirlo de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda \\ &&y&&&=&-2\lambda \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Así pues la solución del sistema para dicho valor del parámetro viene dada por las infinitas ternas $$\{(\lambda,-2\lambda,\lambda):\lambda\in\mathbb{R}\}$$ o lo que es lo mismo: $$\{\lambda\,(1,-2,1):\lambda\in\mathbb{R}\}$$
$\square$

Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra lineal

ENUNCIADO. Un estudiante pidió en la cafetería $3$ bocadillos, $2$ refrescos y $2$ bolsas de patatas y pagó un total lde $19$ euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron $4$ euros.
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
    $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
        $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
$\square$

Aplicación de la matriz inversa a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$

Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$

$\square$

Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&m\,y&&&=&1 \\ -2x&-&(m+1)\,y&+&z&=&-1\\ x&+&(2m-1)\,y&+&(m+2)\,z&=&2+2m \end{matrix}\right.$$
a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$
b) Resolver el sistema en el caso $m=0$

SOLUCIÓN.

Estudio de un sistema de ecuaciones lineales cuyos términos independientes son nulos

Álgebra lineal con GeoGebra. Estudio y resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante las utilidades CAS de GeoGebra

Empleando la noción de matriz escalonada reducida, procedemos a exponer algunos ejemplos de análisis de rangos (y, en su caso, también de resolución) de sistemas de ecuaciones lineales.


Nota: También podemos resolver rápidamente un sistema de ecuaciones lineales mediante la instrucción Resuelve[{lista de ecuaciones},{lista de incógnitas}], que es la instrucción básica que ofrece GeoGebra y que ya utilizábamos en Primero de Bachillerato, aunque no da tanto juego para el análisis de rangos como la instrucción EscalonadaReducida(matriz). Tenéis unos cuantos ejemplos en [este otro artículo].

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Análisis y resolución ( en los casos que sea procedente ) de un sistema de ecuaciones lineales en función de los valores de un parámetro

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{pmatrix}a&1&1 \\ 1 & a&1 \\ 1 & 1 &a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ siendo $a$ un parámetro. Se pide:
a) Analizar el sistema de ecuaciones en cuanto a sus soluciones, en función de los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$
b) Resolver el sistema en los casos que exista solución

SOLUCIÓN.
a) Vamos a realizar el análisis de rangos, reduciendo la matriz $\tilde A$ de los coeficientes del sistema (incluyendo el vector columna de los términos independientes) por Gauss. Las siguientes son matrices equivalentes en rango:

$\left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 1 & a&1 &0\\ 1 & 1 &a&1\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_2\,,\ -a\, f_3+f_1 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 1-a &1-a^2&-a\end{array}\right) \overset{f_3-f_2 \rightarrow f_3}{\sim} $

$\sim \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&1&0 \\ 0 & 1-a&a-1 &1\\ 0 & 0 &(1-a)(a+2)&-(a+1)\end{array}\right)$

Nota: Se han omitido los cálculos algebraicos detallados que aparecen al manejar las expresiones dependientes de $a$, pidiendo al lector/a que los reproduzca

Observemos que, por el teorema de Rouché-Fröbenius:
I) Si $a:=1$, $1=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es incompatible para este valor de $a$; y, si $a:=-2$, entonces $2=\text{rango}(A) \neq \text{rango}(\tilde{A})=3$ luego el sistema es también incompatible para este otro valor de $a$. En resumen:
  Si $a \in \{-2\,,\,1\}$, entonces el sistema es incompatible.

II)   Si $a \notin \{-2\,,\,1\}$, entonces $\text{rango}(A) = \text{rango}(\tilde{A})=3 = n$ ( donde $n$ es el número de incógnitas ), por lo que el sistema es compatible determinado.

b)
Resolvamos el sistema en las condiciones de (II). Un sistema equivalente en solución al original y reducido por Gauss es:
$$\left\{\begin{matrix}a\,x & + & y &+& z&=&0 \\ & &(1-a)\, y &-& (1-a)\,z&=&1 \\ & &&& (1-a)(a+2)\,z&=&-(a+1) \end{matrix}\right.$$ De la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+2)}$$ sustituyendo en la segunda ecuación y despejando $y$ llegamos a ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$y=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$ y sustituyendo los valores encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, obtendremos el valor para la primera incógnita ( omitimos los pasos intermedios, pidiendo al lector/a que los reproduzca ) $$x=\dfrac{1}{(1-a)(a+2)}$$

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Rango de un sistema de ecuaciones lineales

Consideremos un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas $$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n=&b_1 \\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2p}x_n=&b_2 \\ \ldots \\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n=&b_m\end{matrix}\right.$$ donde $a_{ij}$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,n$ ) son los coeficientes del sistema, y $x_1,\ldots,x_n$ las incógnitas.

El rango de un sistema de ecuaciones lineales se define como el número de las mismas que son independientes. Obtenemos un sistema equivalente al dado si realizamos combinaciones lineales entre las mismas, de la forma $e_i \leftarrow \lambda \,e_i+\delta \, e_j$ ( $i \neq j$, $i=1,\ldots,m$ y $j=1,\ldots,m$ ). Mediante las apropiadas combinaciones podemos obtener un sistema reducido de tal forma que los nuevos coeficientes sean tales que formen un triángulo de ceros, partiendo del coeficiente $a_{m1}$ y ganando ceros hacia las arriba y hacia la derecha; denominaremos a este sistema, sistema reducido por Gauss.

Una vez reducido (por Gauss) el sistema original, es fácil detectar si alguna de las ecuaciones reducidas presenta alguna contradicción aritmética, del tipo $0 = 1$; si es así, el sistema es incompatible; en cualquier otro caso, el sistema es compatible.

En el caso de que el sistema sea compatible, las ecuaciones que resultan de combinaciones lineales entre otras ecuaciones dan lugar a ecuaciones idénticamente nulas ( $0=0$ ), por lo que el número de ecuaciones no identicamente nulas restantes, $r$ ( $r \le m$), nos da el número de ecuaciones independientes del sistema original. Por consiguiente, si $r=n$ ( recordemos que $n$ es el número de incógnitas ), el sistema es compatible determinado ( la solución consta de un único valor para cada incógnita ) y si $r \prec m$, entonces el sistema es compatible indeterminado con $r$ variables principales y $n-r$ variables secundarias a las cuales podemos atribuir valores arbitrarios, estando formada la solución por infinitas $n$-tuplas de números reales, que constituyen un subespacio afín de $\mathbb{R}^n$.

Ejemplo 1.
ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución ). Hacer una interpretación geométrica de la situación de incidencia de planos que plantea este sistema de ecuaciones.
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&+&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&-1\\
x&+&y&+&z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Observemos que de la primera ecuación y de la tercera ecuación se deduce que $0=1$, lo cual es absurdo, luego debemos concluir que el sistema es incompatible ( no tiene solución ), y hemos terminado.

Nota: Como cada una de las ecuaciones representa un plano en el espacio tridimensional, interpretamos esta situación ( de incidencia de tres planos), dos de los cuales son paralelos no-coincidentes en el espacio tridimensional.

Ejemplo 2.
ENUNCIADO. Clasificar según la solución y resolver, si procede, el siguiente sistema de ecuaciones lineales, interpretando la ( posible ) solución desde el punto de vista geométrico:
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$

SOLUCIÓN. Mediante combinaciones lineales entre filas procederemos a obtener un sistema equivalente que tenga un escalonamiento de $0$s en los coeficientes de las ecuaciones ( del sistema reducido por Gauss ), que nos permitirá saber cuántas ecuaciones de las dadas son linealmente independientes ( \textit{rango} del sistema ), viendo con ello si el sistema es incompatible ( no tiene solución ) o bien compatible ( tiene solución ), y en cuyo caso, si a cada variable le corresponde un sólo valor como solución ( compatible determinado ) o bien le corresponden infinitos valores, aunque con una cierta estructura que los liga ( sistema compatible indeterminado ). Finalmente, si procede encontraremos la solución.
Empecemos. A partir del sistema original
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
2x &-&3\,y&+&2\,z=&9 \\
x &-&2\,y&+&4\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\}$$
y mediante las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones
$$\left.\begin{matrix}
-2\,e_1+3\,e_2 \rightarrow e_2\\
-2\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obtenemos el siguiente sistema equivalente
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&y&-&6\,z=&3 \\
\end{matrix}\right\} $$
que acabamos de escalonar haciendo
$$\left.\begin{matrix}
2\,e_3+e_2 \rightarrow e_3\\
\end{matrix}\right.$$
obteniendo
$$\left.\begin{matrix}
3\,x &-&3\,y&+&z=&11 \\
&&-3\,y&+&4\,z=&5 \\
&&&-&14\,z=&14 \\
\end{matrix}\right\} $$
sistema escalonado por Gauss que tiene $3$ ecuaciones linealmente independientes, luego el rango del sistema de ecuaciones es $3$; y, como el rango coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. Veamos cuál es. De la última ecuación, despejamos $z$ sin dificultad, obteniendo $z=-1$; sustituyendo dicho valor en la segunda ecuación del sistema reducido llegamos a $y=-3$. Y, finalmente, sustituyendo $z=-1$ e $y=-3$ en la primera ecuación y despejando la incógnita $x$ resulta $x=1$.
Y se comprueba fácilmente que la solución ( que representa un punto del espacio tridimensional ) satisface las tres igualdades originales.

Ejemplo 3.
ENUNCIADO. Clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resolverlo ( si tiene solución ). Finalmente, interpretar la situación de incidencia de planos que expresa el sistema.
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
x&-&y&+&z&=&0\\
x&+&2\,y&-&2\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
SOLUCIÓN. Reduciendo el sistema por Gauss podremos saber cuál es el número de ecuaciones linealmente independientes ( es decir, el rango del sistema ). Para ello, realizamos las operaciones elementales ( combinaciones lineales ) entre ecuaciones que sean necesarias para escalonar el sistema.

Primer etapa:
Las siguientes combinaciones lineales
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
$-2\,e_2 + e_1 \rightarrow e_2$
nos llevan a
$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

Segunda etapa:
Con la combinación lineal
$e_3-e_2 \rightarrow e_3$
obtenemos el escalonamiento de ceros deseado

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&3\,y&-&3\,z&=&1\\
{\bf 0}\cdot x&+&{\bf 0}\cdot y&+&0 \cdot z&=&0\\
\end{matrix}\right.$$


Contabilizando el número de ecuaciones ( de este sistema equivalente ) que son identicamente no-nulas, vemos que sólo son dos ( la primera y la segunda ), esto es, el rango del sistema, $r$, es $2$. Como estas dos ecuaciones son compatibles entre sí, el sistema es compatible ( tiene solución ); y, teniendo en cuenta que el número de incógnitas, $n$, que es $3$, es menor que el rango, concluimos que el sistema es compatible indeterminado ( ha de tener infinitas soluciones ). Veamos a continuación cómo están ligadas estas infinitas soluciones; para ello, debemos entender que de las $3$ incógnitas ( variables ), $n-r$ deben tomar el papel de variables secundarias, por lo que hay $3-2=1$ variable secundaria, cuyos valores en la solución los podremos elegir libremente; y, $r=2$ variables principales. Elijamos ahora una de las tres variables como secundaria ( da lo mismo cuál de ellas escogemos ): pongamos que $z$; y, para remarcar su carácter ( de variable secundaria ), la denotaremos por $\lambda$ ( es decir, designamos $z:=\lambda$ ). Hecho esto, escribamos el sistema de ecuaciones equivalente ( y reducido por Gauss ):

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&-&\lambda&=&1\\
&&3\,y&-&3\,\lambda&=&1\\
\end{matrix}\right.$$

donde hemos ya prescindido de la última ecuación, que es trivial ( no aporta información alguna ). Trasladando al segundo miembro los términos que dependen de $\lambda$, llegamos a

$$\left\{\begin{matrix}
2\,x&+&y&=&1+\lambda\\
&&3\,y&=&1+3\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$

Despejando ahora $y$ de la segunda ecuación obtenemos $$y=\dfrac{1}{3}+\lambda$$ y sustituyendo este resultado en la primera ecuación encontramos la forma que debe tener $x$ ( en función de $\lambda$ ) $$2\,x+\dfrac{1}{3}+\lambda=1+\lambda$$ es decir $$2\,x=1-\dfrac{1}{3}+\lambda-\lambda$$ simplificando y despejando $x$ del primer miembro $$x=\dfrac{1}{3}$$ con lo cual concluimos que la solución del sistema de ecuaciones son las infinitas ternas ( por ternas de números podemos entender puntos de una recta en el espacio tridimensional ) $$\{(\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}+\lambda,\lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$

Nota: Interpretamos $\lambda$ como un parámetro en la estructura general de la solución y, desde el punto de vista geométrico, representa el único grado de libertad que tiene toda recta.

Ejemplo 4.
ENUNCIADO. Resolver el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación $$x-y+z=1$$ Decir qué significa desde el punto de vista geométrico.
SOLUCIÓN. Como hay tres variables y el sistema consta de una sola ecuación, el sistema es compatible indeterminado, con $3-1=2$ variables secundarias. Elijamos tres de las variable como variables secundarias, pongamos que $y$ y $z$, denotándolas de la forma $\alpha:=y$ y $\beta:=z$, con lo cual podemos escribir $$x=1+\alpha-\beta$$ Como podemos dar valores arbitrarios ( infinitos valores ) a $\alpha$ y a $\beta$, describimos, pues, la solución como el conjunto de infinitas ternas de números reales dado por $$\{(1+\alpha-\beta,\alpha,\beta): \alpha,\beta \in \mathbb{R}\}$$ que interpretamos como puntos de un plano en el espacio tridimensional.

Nota: $\alpha$ y $\beta$ hacen el papel de parámetros en la estructura general de la solución. El que encontremos dos parámetros se corresponde con la noción ( geométrica ) de que un plano se entienda como un conjunto de puntos con dos grados de libertad, pues al imaginar que recorremos todos estos puntos podemos pensar que lo podemos hacer eligiendo dos direcciones básicas.

OBSERVACIÓN. Si el número de ecuaciones, $m$, fuese mayor que el número de incógnitas $n$, decimos que el sistema está sobredeterminado. Entonces o bien el sistema sería incompatible ( por contener al menos dos ecuaciones contradictorias ) o bien habría por lo menos $m-n$ ecuaciones que serían necesariamente una combinación de algunas de las $r$ ecuaciones
linealmente independientes restantes, siendo $r$ ( rango del sistema ) el número de ecuaciones independientes.

Ejemplo 5.
ENUNCIADO. Estúdiese y resuélvase ( si procede hacerlo ) el siguiente sistema de ecuaciones lineales
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
x&-&y&=&2\\
-x&+&y&=&-2\\
\end{matrix}\right.$$
Reduciendo el sistema por Gauss ( restando la segunda ecuación de la primera, y sumando la segunda y la tercera ) obtenemos
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
&&2y&=&-1\\
&&0&=&0\\
\end{matrix}\right.$$
esto es el rango del sistema de ecuaciones es $2$, $r=2$, ( hay $2$ ecuaciones linealmente independientes, la tercera original es combinación de las dos primeras ); y, como éste es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.
$$\left\{\begin{matrix}
x&+&y&=&1\\
&&2y&=&-1\\
\end{matrix}\right.$$
De la última ecuación, obtenemos $y=-1/2$ y sustituyendo en la primera, $x=3/2$
$\square$

Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. En un taller de joyería se dispone de tres aleaciones $A$, $B$ y $C$ que contienen; entre otros metales, oro y plata, en las proporciones indicadas en siguiente tabla

% de oro    % de plata
   --------   -----------
A     100          0
B      75         15
C      60         22

Se quiere obtener una pieza ( por fundición ) de $25$ gramos, con una proporción del $72\,\%$ de oro y una proporción del $16\,\%$ de plata, tomando $x$ gramos de $A$, $y$ gramos de $B$ y $z$ gramos de $C$. Determínense dichas cantidades.

SOLUCIÓN.
Transcribimos la información literal del enunciado a estas tres ecuaciones:
$$x+y+z=25$$
$$\dfrac{x+0,75y+0,6z}{25}=0,72$$
$$\dfrac{0\,x+0,15y+0,22z}{25}=0,16$$
que constituyen el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right.$$
Procedemos a resolver el sistema por Gauss

$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ 100\,x&+&75\,y&+&60\,z&=1800 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{-100\,e_1+e_2 \rightarrow e_2}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&15\,y&+&22\,z&=400\end{matrix}\right. \overset{3\,e_2+5\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&-25\,y&-&40\,z&=-700 \\ &&&&-10\,z&=-100\end{matrix}\right.\overset{ (-1/5)\,e_2 \rightarrow e_2 \,;\, (-1/10)\,e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$ \sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=25 \\ &&5\,y&+&8\,z&=140 \\ &&&&z&=10\end{matrix}\right.$

Entonces, de la tercera ecuación vemos que $z=10$ gramos; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, y despejando $y$, obtenemos el valor de la segunda incógnita: $y=12$ gramos; y, sustituyendo los valores encontrados para $z$ e $y$ en la primera ecuación, calculamos el valor de la primera incógnita: $x=3$ gramos
$\square$

Discutir en función de los valores del parámetro y resolver cuando proceda el siguiente sistema de ecuaciones

ENUNCIADO. Dado el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{matrix} 2\,x&+&a\,y&+&z&=&a \\ x&-&4\,y&+&(a+1)\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&a\,z&=&0\end{matrix}$$ Se pide:
a) Discutirlo en función de los valores del parámetro $a$
b) Resolver el sistema para $a=1$
c) Resolver el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz de los coeficientes del sistema es $A=\begin{pmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{pmatrix}$ y la matriz ampliada $(A|b)=\begin{pmatrix}2&a&1&a\\1&-4&(a+1)&1\\ 0&4&-a&0\end{pmatrix}$

Observemos que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}=a^2-4 = 0 \Leftrightarrow a=\pm 2$. Entonces, si $a \in \{-2\,,\,2\}$, $\text{rango}(A)=2$, puesto que en estas condiciones no puede ser igual a $3$, y $A$ tiene un menor de orden $2$ distinto de $0$ ( en efecto, $\begin{vmatrix}1&-4\\0&4\end{vmatrix}=4\neq 0$ )

Veamos ahora cuáles son los posibles rangos de la matriz ampliada $(A|b)$, para ello emplearemos el método del orlado del menor complementario no nulo que hemos encontrado. Así, aparecen dos menores de orden $3$ que son:
$\Delta_1=\begin{vmatrix}2&a&1\\1&-4&(a+1)\\ 0&4&-a\end{vmatrix}$, que es el de la matriz de los coeficientes y ya hemos analizado
y
$\Delta_2=\begin{vmatrix}2&a&a\\1&-4&1\\ 0&4&0\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 4\,(a-2)=0 \Leftrightarrow a=2$

Entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, tenemos los siguientes casos:

i) Si $a=-2$, $r=\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|b)=3$ ( ya que hay un menor de orden $3$, $\Delta_2$, que no se anula para esos valores ), y, al no coincidir los rangos, el sistema es incompatible

ii) Si $a=2$, $r=\text{rango}(A)=2$ y $\text{rango}(A|b)=2$ ( ya que los menores de orden $3$ del orlado, $\Delta_1$ como $\Delta_2$, son nulos ); entonces $r=2\prec n=3$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

iii) Para cualquier otro valor de $a$, $\text{rango}(A|b)=\text{rango}(A)=3=n$ y el sistema es compatible determinado

b)
Para $a=1$ estamos en el caso (ii) y el sistema es compatible determinado. Queda así: $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&4\,y&+&2\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ al reducirlo por Gauss nos queda el sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&y&+&z&=&1 \\ &&9\,y&-&3\,z&=&-1 \\ &&&&3\,z&=&4\end{matrix}\right.$$ así que, despejando $z$ de la última ecuación y sustituyendo de forma regresiva, llegamos a $$\left\{\begin{matrix} x&&&&&=&-\dfrac{1}{3} \\ &&y&&&=&\dfrac{1}{3} \\ &&&&z&=&\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.$$

c)
Para $a=2$ estamos en el caso (iii) y el sistema es compatible indeterminado con una variable secundaria. Queda así: $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ x&-&4\,y&+&3\,z&=&1 \\ &&4\,y&-&2\,z&=&0\end{matrix}\right.$$ Reduciendo por Gauss llegamos al siguiente sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&+&z&=&2 \\ &&2\,y&-&z&=&0 \end{matrix}\right.$$
Tomando ahora $z$ como variable secundaria ( a la que llamamos $\lambda$ ) nos queda el siguiente sistema $$\left\{\begin{matrix} 2\,x&+&\,2y&=&2-\lambda \\ &&2\,y&=&\lambda \end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ la segunda ecuación obtenemos $y=\dfrac{\lambda}{2}$ y sustituyendo este resultado en la primera llegamos a $2x+2\cdot \dfrac{\lambda}{2}=2-\lambda$, de donde $x=1-\lambda$. Así pues la solución viene dada por el conjunto de infinitos puntos del espacio $\mathbb{R}^3$ dados por $$\text{Solución}=\{(1-\lambda\,,\,\dfrac{\lambda}{2}\,,\,\lambda)\;\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$

Dado el sistema de ecuaciones (...)

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}2x&+&(a-1)y&-&2z&=&a \\ 2x&+&y&-&az&=&2 \\ -x&+&y&+&z&=&1-a\end{matrix}\right.$$ se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro $a$
b) Resolverlo cuando sea posible

SOLUCIÓN.
a)
Procedimiento I ( Estudio de los rangos por reducción de Gauss ).
Recordemos que el rango de una matriz, una vez reducida por Gauss, es igual al número de filas no nulas.
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1-a \end{array}\right)$ Reordenando las filas, su rango equivale al de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \end{array}\right)$ Procedemos ahora a reducirla por Gauss. Mediante las operaciones elementales entre filas $2f_1+f_2 \rightarrow f_2;2f_1+f_3 \rightarrow f_3$ obtenemos la siguiente matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \end{array}\right)$ Permutando el orden de la segunda y de la tercera filas, se llega a esta otra matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \end{array}\right) \overset{-\frac{1}{3}(a+1)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim}$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\,(a-2)(a+1) & \frac{1}{3}\,(1-2a)(2-a) \end{array}\right)$$

A partir de aquí, y teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius, aparecen los siguientes casos:

1. Si $a=2$, $\tilde{a}_{33}=\tilde{a}_{34}=0$ y por tanto la tercera fila es nula, luego al haber dos filas no nulas tanto en $A$ como en $\tilde{A}$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

2. Si $a=-1$, $\tilde{a}_{33}=0$ pero $\tilde{a}_{34}\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible

3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado. OBSERVACIÓN 1: Si bien $a=1/2$ anula el coeficiente $\tilde{a}_{34}$, no anula $\tilde{a}_{33}$, así que aunque $a$ tome ese valor ello no impide que el rango de $\tilde{A}$ no sea $3$.

Procedimiento II ( Estudio de los rangos empleando determinantes ).
Recordemos que el rango de una matriz corresponde al orden del mayor menor no nulo que contenga dicha matriz.
Es evidente que el menor $$\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} \neq 0$$ y por tanto podemos afirmar que los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $\tilde{A}$ son iguales o mayores que $2$. Cabe ahora discernir para qué valores de $a$ dichos rangos pueden ser igual a $3$ para, empleando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasificar todos los posibles casos.

Ahora emplearemos el método del orlado de dicho menor para realizar este estudio. Orlándolo, aparecen sólo dos menores de orden $3$:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)(a+1)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1-a \end{vmatrix}=(a-2)(2a-1)$$
NOTA: Dejo que el lector haga los cálculos pormenorizados de los determinantes, para comprobar que salen los resultados mostrados.

De todo ello podemos distinguir los siguientes casos que, naturalmente, coinciden con los que hemos visto empleando el primer procedimiento:
1. Si $a=2$, $\Delta_1=\Delta_2=0$ luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales

2. Si $a=-1$, $\Delta_1=0$ pero $\Delta_2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible

3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\Delta_1\neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$ lo cual implica que $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado.

OBSERVACIÓN 2. Debemos recordar ahora el comentario hecho en la OBSERVACIÓN 1 ( del Procedimiento I ), con respecto a la posibilidad de que $a$ tome el valor $1/2$. Ello no impide que el rango de la matriz $\tilde{A}$ sea $3$, pues a pesar de que $\Delta_2$ se anula para dicho valor, $\Delta_1$ ( que es también un menor de $\tilde{A}$ ) es distinto de cero.

b)
Vamos a resolver ahora el sistema para los casos en que éste es compatible, esto es, para los casos 1 y 3.

Solución para el caso 3 ( sistema compatible determinado ):
El sistema equivalente reducido ( por Gauss ) es $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&1-a \\ &&3y&+&(2-a)z&=&2(2-a)\\ &&&&\dfrac{1}{3}(a-2)(a+1)z&=&\dfrac{1}{3}(1-2a)(2-a)\end{matrix}\right.$$ Entonces, siempre que $a \notin \{-1,2\}$, despejando $z$ de la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{2a-1}{a+1}$$ Sustituyendo ésto en la segunda ecuación y despejando $y$ se llega a $$y=\dfrac{1}{a+1}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valares encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$ encontramos $$x=\dfrac{a^2+2a-1}{a+1}$$

Solución para el caso 1 ( sistema compatible indeterminado, con $2$ variables principales y $1$ variable secundaria ):
La solución consta de infinitos puntos, que dependerán de $1$ parámetro ( que corresponde a la variable secundaria ). Vamos a caracterizarlas. El sistema equivalente reducido por Gauss es ahora ( $a=2$ ) el siguiente, $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&3y&&&=&0 \end{matrix}\right.$$

Es obvio que $y=0$ ( de la segunda ecuación ). Sustituyendo ésto en la primera y tomando $z$ como variable secundaria ( la denotamos por $\lambda$ ) llegamos a $x=\lambda+1$. Entonces la solución del sistema para este caso es el conjunto de infinitos puntos ( de $\mathbb{R}^3$ ) $$\{(\lambda+1,0,\lambda); \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$

Cierta fundación ha destinado $247\,000$ euros para la dotación de $115$ becas de estudio (...)

ENUNCIADO. Cierta fundación ha destinado $247\,000$ euros para la dotación de $115$ becas de estudio. El importe de cada beca es de $3000$ euros, si el estudiante cursa un grado universitario; de $2000$ euros, si cursa formación profesional; y de $1500$ euros, si realiza estudios de postgrado. Sabiendo que la fundación ha concedido doble número de becas de formación profesional que de postgrado, ¿ cuántas becas ha concedido a cada nivel de estudios ?.

SOLUCIÓN.
Denotemos por $x$ el número de becas para estudios de grado universitario, por $y$ el número de becas de formación profesional, y por $z$ el número de becas de postgrado. Entonces, $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&115 \\ 3000x&+&2000y&+&1500z&=&247000\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la tercera ecuación y sustituyendo en las los primeras, $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ 3000x&&&+&5500z&=&247000\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ simplificando la segunda ecuación, $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ 6x&&&+&11z&=&494\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y sustituyendo la segunda ecuación por el resultado de la combinación $-6e_1+e_2$ llegamos al sistema equivalente $$\left\{\begin{matrix}x&&&+&3z&=&115 \\ &&&&-7z&=&-196\\ &&y&-&2z&=&0 \end{matrix}\right.$$ De la segunda ecuación resultante, y despejando $z$, obtenemos $$z=28 \;\text{becas de postgrado}$$ Sustituyendo este valor en la tercera ecuación encontramos $$y=56\;\text{becas de formación profesional}$$ Finalmente, sustituyendo los valores que hemos hallado de $z$ y de $y$ en la primera ecuación, se obtiene $$x=31 \; \text{becas de grado universitario}$$
$\square$

Discutir y resolver el siguiente sistema

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}3x&+&y&+&mz&=1\\x&-&y&+&2z&=-2\\ 5x&+&(m+1)\,y&+&2z&=4\\\end{matrix}\right.$$
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro $m$
b) Resolverlo en el caso $m=0$
c) Resolverlo en el caso $m=2$

SOLUCIÓN.
a)
Por comodidad, reordenamos las ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=-2\\3x&+&y&+&mz&=1\\ 5x&+&(m+1)\,y&+&2z&=4\\\end{matrix}\right.$$ La matriz ampliada del sistema es $$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right)$$ Procedemos a continuación a escalonarla ( por Gauss ) para realizar el análisis de rangos $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right) \overset{-3\cdot f_1 +f_2 \rightarrow f_2; -5\cdot f_3 +f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & m+6 & -8 & 14\\
\end{array}\right)$$
y mediante la operación elemental entre filas $-\dfrac{1}{4}\,(m+6)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3$ es equivalente en rango a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & 0 & -\dfrac{1}{4}\,(m-2)(m+2) & \dfrac{-7m+14}{4}\\
\end{array}\right)$$

A partir de ésta, distinguimos los siguientes casos:

i) Si $m=-2$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A|b)=3$, luego el sistema es incompatible para este valor del parámetro

ii)) Si $m=2$, entonces el número de filas linealmente independientes es $2$ con lo cual $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2 \prec 3=n$ ( $n$ es el número de incógnitas del sistema ), y el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales

iii) Para cualquier otro valor de $m$ distinto de $2$ y $-2$, los rangos de $A$ y $(A|b)$ tienen el mismo valor, $3$, que es igual al número de incógnitas $n=3$, por lo que el sistema es compatible determinado.

b)
Si $m=0$ estamos en el caso tercer caso y el sistema es compatible determinado ( la solución existe y es única ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&6\,z&=&7 \\ &&&&z&=&\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo el valor de $z$ ( última ecuación ) en la segunda, encontramos el valor de $y$, que resulta ser igual a $7$; y, finalmente, sustituyendo, los valores de $z$ e $y$ en la primera ecuación encontramos el valor de $x$, que es igual a $-2$.

Por tanto la solución es el punto de coordenadas $(-2,7,7/2)$

c)
Para $m=2$ estamos en el segundo caso ( el sistema es compatible indeterminado, con una variable secundaria ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es ahora $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&4\,z&=&7 \end{matrix}\right.$$
Escogiendo $z$ como variable secundaria, la tratamos como un parámetro ( libre ) $\lambda:=z$, con lo cual $$\left\{\begin{matrix} x&-&y&=&-2\cdot (1+\lambda) \\ &&4\,y&=&7+4\,\lambda \end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la segunda ecuación, $y=\dfrac{7}{4}+\lambda$; y, sustituyéndolo en la primera ecuación, obtenemos $x=-\dfrac{1}{4}-\lambda$.

Por tanto la solución es el conjunto de puntos de la recta $$r:\{(-\dfrac{1}{4}-\lambda, \dfrac{7}{4}+\lambda, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$