Un ejercicio sobre sistemas lineales homogéneos

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}a\,x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&0\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) ¿ Hay algún valor de para el cual el sistema sea incompatible ? ¿ Para qué valores de $a$ la única solución del sistema es la trivial ? ( Razónense todas las respuestas )
b) Resuélvase el sistema para $a=-1$

SOLUCIÓN.
a)

Tratándose de un sistema homogéneo, por lo menos tiene la solución trivial ( $x=y=z=0$ ), luego no puede ser incompatible, sea cual sea el valor de $a$.

Veamos ahora para qué valores de $a$ la única solución de este sistema es la trival.

Para el sistema tenga otras soluciones además de la trivial ( $x=y=z=0$ ), esto es, para que el sistema sea compatible indeterminado el rango de la matriz de los coeficientes ha de ser menor que el número de incógnitas $n=3$, con lo cual ha de cumplirse que $$\begin{vmatrix}a&1&1\\1&a&1\\1&1&a \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow a^3-3a+2=(a-1)\,(a^2+a-2) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a = -2 \\ \text{ó} \\ a = 1 \end{matrix}\right.$$ Así pues, si $a$ toma valores distintos de $-2$ y $1$, el sistema tiene únicamente la solución trivial $x=y=z=0$

b)
Según lo dicho enel apartado anterior, como $a:=-1 \notin \{-2\,,\,1\}$ el sistema es compatible determinado, y su única solución es la trivial: $x=y=z=0$

Nota: Evidentement, podemos comprobar muy fácilmente lo que acabamos de concluir
$\left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ x&-&y&+&z&=0 \\ x&+&y&-&z&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} -x&+&y&+&z&=0 \\ &&&&2\,z&=0 \\ &&2\,y&&&=0 \end{matrix}\right\} \sim \left.\begin{matrix} x&&&&&=0 \\ &&y&&&=0 \\ &&&&z&=0 \end{matrix}\right\}$

$\square$