Un ejercicio acerca de un modelo de población

ENUNCIADO. Un cierto modelo de población proporciona la siguiente función de variación instantánea $$f(x)=x+1$$ donde los valores de dicha función se expresan en decenas de individuos / año; y, los valores de $x$, en años, siendo $0 \le x \le 10$ años.

Se pide:

a) La función $F(x)$ que da el número de decenas de individuos de la población que hay cada año $x$, sabiendo que la población en el primer año, $x=0$, fue de $2$ decenas de individuos. ¿ Cántas decenas de individuos hubo en el undécimo año ( $x=10$ ) ?

b) La tasa de variación relativa de la población entre el quinto año ( $x=4$ ) y el séptimo año ( $x=6$ ), expresada en tanto por ciento.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta el significado de las funciones $f$ y $F$ ( la segunda es una primitiva de la primera ) , podemos escribir que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx = \displaystyle \int \,(x+1)\,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2+x+C$ y como $F(0)=2$, tenemos que $2=\dfrac{1}{2}\cdot 0 +0+C \Rightarrow C=2$, con lo cual $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+x+2$. Así que $F(10)=\dfrac{1}{2}\cdot 10^2+10+2 = 62$ decenas de individuos.

b)
Primero, calcularemos a variación absoluta entre el tercer y el quinto año:
$$\displaystyle \left|\int_{4}^{6}\,(x+1)\,dx\right| \overset{\text{Barrow}}{=} F(6)-F(4)=$$
    $= \left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot 6^2+6+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2+4+2\right)\right|=12\, \text{decenas de individuos}$

Y, finalmente, a partir de la variación absoluta y del valor inicial, calculamos la variación relativa $$\dfrac{\left|F(6)-F(4)\right|}{|F(4)|}=\dfrac{12}{\frac{1}{2}\cdot 4^2+4+2}=\dfrac{6}{7}\approx 86\,\%$$

$\square$

Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo

ENUNCIADO
Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo, que resulta ser $2 \, s$. Teniendo en cuenta que el movimiento en caída libre se caracteriza por ser la velocidad proporcional al tiempo en todo instante de tiempo, $ v(t) \propto t$, siendo el valor aproximado de la constante de proporcionalidad ( en la superficie de la Tierra ) de $g=9,8 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, calcúlese la profundidad del pozo ( la distancia entre la boca y la superficie del agua del fondo ), despreciando el tiempo que tarda la onda sonora del choque en recorrer la longitud del pozo.

SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que $v(t) = g\,t$, y que la función $v(t)$ es la función derivada de la función de posición de la piedra ( tomando como referencia la boca del pozo ) con respecto a la variable tiempo, $t$, podemos escribir ( empleando la notación de Leibniz ) que $$\dfrac{dx}{dt}=g\,t$$
y por tanto
$$dx=g\,t\,dt$$
con lo cual, integrando en cada miembro de la igualdad,
$$\int\,dx=g\,\int\,t\,dt$$
es decir
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2+C$$
pero como $x(0)=0$, resulta que $C=0$; así
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
Utilizando, ahora, la información sobre el tiempo de caída, obtenemos la profundidad del pozo:
$$x(5)=\dfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 2^2 \approx 20 \, \text{m}$$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida (trobeu la família de funcions primitives)
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx$

Resolució:
Donada una funció $f(x)$, recordem que la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, f(x)\,dx$
correspon al problema de trobar la família de funcions primitives de la funció de l'integrand $f(x)$; és a dir, $\{F(x)+C\}$ ( $C$ és una constant: la constant d'integració ) de tal manera que
$\bigg(F(x)+C\bigg)^{'}=f(x)$
Tenint en compte les regles de derivació (en concret la que dóna la derivada d'una funció potencial i la derivada d'una suma de funcions ) és clar que
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx =\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2-x+C$

$\square$

[nota del autor]

Encontrar una primitiva de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^2+x+1$, trobeu una funció $F(x)$, primitiva de $f(x)$, tal que $F(1)=-1$

Resolució:
Primer de tot, trobem la família de funcions primitives de $f(x)$ (resolem el problema de la integral indefinida de $f(x)$ )
$\displaystyle \int \, \big(x^2+x+1)\,dx = \dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x+C \quad (1)$
on $C$ és la constant d'integració
A continuació, determinarem el valor d'aquesta constant, imposant la condició donada $F(1)=-1$; per això, substituïm el valor $x$ per $1$ i trobem la següent equació
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=-1$
d'on, aïllant la constant, i operant i simplificant, s'obté
$C=-\dfrac{17}{6}$
Per tant, amb aquest valor concret de $C$, la funció primitiva demanada [de (1)] és
$F(x)=\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x-\dfrac{17}{6}$
$\square$

[nota del autor]

Cálculo de integrales indefinidas. Cálculo de primitivas.

[nota del autor]

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO:
Calcular la integral indefinida $$\int x\,e^{x^2}\,dx$$

SOLUCIÓN:
Haciendo el cambio de variable $e^{x^2}=t$, $$dt=\left( e^{x^2} \right)' \,dx$$
es decir
$$dt=2x\,e^{x^2} \,dx$$
Así, $$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int dt=\dfrac{1}{2}\,t+k=\dfrac{1}{2}\, e^{x^2}+C$$

Comentario:
Otra forma, más directa, de resolverlo es poner la función del integrando bajo el signo diferencial:
$$\int x\,e^{x^2}\,dx=\dfrac{1}{2}\,\int d\left( e^{x^2} \right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Solución:
Utilizaremos en este caso la técnica de integración por partes
    $\int \, u\,dv = u\,v -\int\,v\,du$
Designando:
    $u=\arcsin{x} \Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
    $dv=dx \Rightarrow v=x$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}-\int\,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad \quad \quad (1)$
Calcularemos ahora la integral del segundo miembro, haciendo el cambio de variable $x=\sin{w} \Rightarrow dx=\cos{w}\,dw$, con lo cual
   
$\displaystyle \int\,\dfrac{x \,dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\int \,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\sqrt{1-\sin^2 \,w}}=
\int\,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\cos{w}}=\int\,\sin{w}\,dw$
        $=-\cos{w}+k_1 = \{\text{deshaciendo el cambio}\}=-\sqrt{1-x^2}+k_2$
Y, sustituyendo este resultado en (1), llegamos a
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es el siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de la siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]