Ejemplo de resolución de una ecuación con matrices

Resolución de una ecuación con matrices

Dadas la matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices:
$$A=\begin{pmatrix}
0&0 &1 \\
0& 1 &0 \\
1& 0 &0
\end{pmatrix}
\,,\,
B=\begin{pmatrix}
3&0 &0 \\
0& 3 &0 \\
0& 0 &3
\end{pmatrix}
$$ se pide:
a) Calcular $A^{15}$ y $A^{20}$
b) Resolver la ecuación matricial $6\,X=B-3\,A\,X$, donde $X$ es una matriz cuadrada de orden $3$

[PAU 2015, Madrid]


SOLUCIÓN
a)
Procedamos a calcular las primeras potencias
$$A^2=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
0 &1 & 0\\
1 & 0 &0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
0 &1 & 0\\
1 & 0 &0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 & 0\\
0 & 0 &1
\end{pmatrix}=I$$ luego $A$ es una matriz cíclica de período $p=2$, con lo cual $A^{20}=A^r$, donde $r$ es el resto de la división entera $20 \div p$; por tanto, como el resto de la división $20 \div 2$ es $r = 0$, llegamos a $A^{20}=A^0=I$. Por otra parte, $A^{15}=A^1=A$ ya que el resto de la división $15 \div 2$ es igual a $1$

-oOo-Otra forma de ver lo mismo es la siguiente:
$$A^3=A^2\,A=I\,A=A$$
$$A^4=A^3\,A=A\,A=A^2=I$$
$$A^5=A^4\,A=I\,A=A$$
$$ \ldots $$

con lo que podemos inferir que
$$A^n=\left\{\begin{matrix}
I&\text{si }\;n\; \text{es par} \\
A&\text{si }\;n\; \text{es impar} \\
\end{matrix}\right.$$

Así, como $20$ es par, $A^{20}=I$; y como $15$ es impar, $A^{15}=A$


b)

$$6X=B-3AX \Leftrightarrow 6X+3AX=B-3AX+3AX$$
luego
$$(6I+3A)X=B \quad \quad \quad \quad (1)$$

Observemos que $(6I+3A)=\begin{pmatrix}
6 &0 &0 \\
0 & 6 &0 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0 &0 &3 \\
0 & 3 &0 \\
3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 &0 &3 \\
0 & 9 &0 \\
3 & 0 & 6
\end{pmatrix}$ y por tanto $\begin{vmatrix}
6 &0 &3 \\
0 & 9 &0 \\
3 & 0 & 6
\end{vmatrix}=6^2 \cdot 9 - 3^2 \cdot 9 \neq 0 \Rightarrow 6I-3A $ posee matriz inversa

Entonces, de (1),
$$(6I+3A)^{-1}(6I+3A)X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$I \,X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$X=(6I+3A)^{-1}B \quad \quad \quad \quad (2)$$

Calculemos la matriz inversa de $(6I+3A)$; para ello, escogemos el método de Gauss-Jordan:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{-3\cdot\frac{2}{9}\,f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & 4/3 & 0 & -2/3\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{\frac{1}{6}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{9}\,f_2 \rightarrow f_2;\frac{2}{9}\,f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1/9 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)$$
por tanto
$$(6I+3A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1/9 & 0\\
-1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)$$

Así, de (2),
$$X=\left(\begin{array}{ccc}
2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1/9 & 0\\
-1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)\begin{pmatrix}
3&0 &0 \\
0& 3 &0 \\
0& 0 &3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2/3&0 &-1/3\\
0& 1/3 &0 \\
-1/3& 0 &2/3
\end{pmatrix}$$

$\square$