Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIADO. Una fábrica produce un cierto tipo de dispositivos electrónicos. Por el control de calidad, se sabe que el $3\,\%$ de los dispositivos producidos son defectuosos. Se eligen al azar $500$ de los dispositivos fabricados. ¿ Cuál es la probabilidad de que a los sumo $20$ sean defectuosos ?.

SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", $X$, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,20\}$, sigue una distribución binomial $B(n\,,\,p)$, donde $n=500$ y $p=\dfrac{3}{100}$ ( luego $q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100}$ )

Entonces, $P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472$

Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial $X$ por una variable normal $Y$. Como $n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5$ y $n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5$, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial $X$ ( que es $B(n,p)$ ) tomaremos pues una variable normal $Y$ que es $N(np,|\sqrt{npq}|)$, esto es la variable $Y$ que es $N(15\,,\,3'8144)$. Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de $Y$, esto es sumamos a $20$ media unidad, pasando por tanto a $20+0'5 = 20'5$.

(2) Tipificando la variable $Y$, mediante la transformación $Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}$, siendo $Z$ una distribución $N(0,1)$, podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$ para calcular el área bajo la curva de la función de densidad $f(z)$ desde $-\infty$ hasta $k$, es decir $P\{Z\le k\}$, que es igual a la función de distribución en $k$, esto es $P\{Z\le k\}=F(k)$. Así pues la abscisa de $Y$, $20'5$, se transforma en $\dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419$ que es la abscisa correspondiente a $Z$, con cuyo valor entraremos en las tablas.

(3) La abscisa $1'4419$ ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores $1'44$ y $1'45$, que son los más próximos a $1'4419$, por defecto y por exceso:

-------------------
z      |  F(z)
-------------------
1,44   | 0'9521
1,45   | 0'9265
1,67   | 0'9525
1,4419 | F(1'4419)
-------------------

$$\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}$$ por tanto $$F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472$$

$\square$