SOLUCIÓN.
La variable aleatoria "número de piezas defectuosas", X, que toma valores en el conjunto \{0,1,2,3,4,\ldots,20\}, sigue una distribución binomial B(n\,,\,p), donde n=500 y p=\dfrac{3}{100} ( luego q\equiv 1-p=\dfrac{97}{100} )
Entonces, P\{X\le 20\} \overset{(1)}{\approx} P\{Y\le 20'5\}\overset{(2)}{=}P\{Z\le 1'4419\}=F(1'4419)\overset{(3)}{\approx}0'9472
Aclaraciones:
(1) El cálculo con la distribución binomial con esos valores es inviable por la magnitud de los datos, así que intentaremos aproximar la variable binomial X por una variable normal Y. Como n\,p=500\cdot \dfrac{3}{100}=15\succ 5 y n\,q=500\cdot \dfrac{97}{100}\succ 5, estamos en condiciones de realizar dicha aproximación. Así pues, tal y como se ha explicado en clase, en lugar de la variable binomial X ( que es B(n,p) ) tomaremos pues una variable normal Y que es N(np,|\sqrt{npq}|), esto es la variable Y que es N(15\,,\,3'8144). Hacer ésto conlleva también tener que hacer la llamada corrección de Yates, que consiste en aumentar en media unidad el valor de la abscisa de Y, esto es sumamos a 20 media unidad, pasando por tanto a 20+0'5 = 20'5.
(2) Tipificando la variable Y, mediante la transformación Z=\dfrac{Y-15}{3'8144}, siendo Z una distribución N(0,1), podremos utilizar las tablas de la función de distribución de probabilidad F(z) para calcular el área bajo la curva de la función de densidad f(z) desde -\infty hasta k, es decir P\{Z\le k\}, que es igual a la función de distribución en k, esto es P\{Z\le k\}=F(k). Así pues la abscisa de Y, 20'5, se transforma en \dfrac{20'5-15}{3'8144}=1'4419 que es la abscisa correspondiente a Z, con cuyo valor entraremos en las tablas.
(3) La abscisa 1'4419 ( con las cuatro cifras decimales ) no figura exactamente en las tablas, así que deberemos interpolar linealmente entre los valores 1'44 y 1'45, que son los más próximos a 1'4419, por defecto y por exceso:
------------------- z | F(z) ------------------- 1,44 | 0'9521 1,45 | 0'9265 1,67 | 0'9525 1,4419 | F(1'4419) -------------------
\dfrac{F(1'4419)-0'9265}{1'4419-1'45}=\dfrac{0'9265-0'9521}{1'45-1'44}
por tanto F(1'4419)=\dfrac{(0'9265-0'9521)\cdot (1'4419-1'45)}{1'45-1'44}+0'9265 \approx 0'9472
\square
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