Construcción de una base ortonormal ( que no sea la base canónica ), a partir de dos vectores dados

Se expone en esta grabación un ejercicio de vectores en R^3 en el que, dados dos vectores, se dan dos condiciones para hallar un conjunto de vectores que deben cumplir dos condiciones en relación con los datos, y, para hallarlos, utilizaremos el producto escalar y el producto mixto.

Ejercicio sobre el producto vectorial

ENUNCIADO. Sen dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ortogonales. Calcúlese $(\vec{u}-\vec{v}) \times (\vec{u} +\vec{v})$

SOLUCIÓN.
$(\vec{u}-\vec{v}) \times (\vec{u} +\vec{v}) =$
  $=(\vec{u}-\vec{v}) \times \vec{u} + (\vec{u}-\vec{v}) \times \vec{v}$
    $=\vec{u} \times \vec{u} -\vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{v}- \vec{v} \times \vec{v}$
      $=-\vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{v}$
        $=\vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{v}$
          $=2\,(\vec{u} \times \vec{v})$
de donde se deduce que el vector resultante es ortogonal a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$
$\square$

Producto vectorial de dos vectores linealmente dependientes

ENUNCIADO. Probar que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( ambos distintos de $\vec{0}$ ) son linealmente dependientes si y sólo si $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{0}$

SOLUCIÓN. Vamos a demostrar que se cumple la condición necesaria. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes entonces $\text{rango}\,\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}=1$, luego $\begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3\end{vmatrix}=0$ con lo cual, por la definición de producto vectorial, $\vec{u} \times \vec{v} \equiv \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v3\end{vmatrix} = \vec{0}$


Probemos ahora la condición suficiente. Supongamos que $\vec{u} \times \vec{v} \equiv \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=\vec{0}$, siendo $\vec{u} \neq \vec{0}$ y $\vec{v} \neq \vec{0}$, entonces existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{v}=\lambda\,\vec{u}$, luego $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes. $\square$

Producto vectorial en el espacio vectorial tridimensional

Introducción:
Vamos a definir otra operación interna en $V$ ( además de la suma ): el producto vectorial de dos vectores, que será de gran utilidad para resolver algunos problemas métricos ( en el espacio afín euclídeo ).

El producto vectorial de dos vectores es muy importante en Física. Por ejemplo, el momento $\vec{N}$, de una fuerza $\vec{f}$ aplicada sobre un punto $P$ con respecto de un punto $O$ se define como $\vec{N}=\overset{\rightarrow}{OP} \times \vec{f}$. El módulo de dicho momento da cuenta de la intensidad del efecto de giro ( con respecto del centro de giro $O$ ) que, en principio, produce $\vec{f}$ en el punto $P$, con lo cual es muy razonable dar como definición el valor de dicho módulo, que, en buena lógica escribiremos como $\left\|\vec{N}\right\|= \left\|\vec{f}\right\|\,\left\|\overset{\rightarrow}{OP}\right\|\,\sin\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{OP},\vec{f})$. Así, vemos que en el caso de que $\overset{\rightarrow}{OP}$ tenga la misma dirección que $\vec{f}$, y por tanto $\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{OP},\vec{f})=0$, el módulo de $\vec{N}$ es $0$, como debe ser; por otra parte, el efecto de giro de $\vec{f}$ ha de ser máximo cuando $\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{OP},\vec{f})=90^{\circ}$, y según la definición, en efecto así es, pues para ese valor del ángulo, el valor máximo de $\sin\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{OP},\vec{f})=1$ y por tanto $\left\|\vec{N}\right\|$ es máximo, como se puede comprobar en muchas situaciones, como al abrir una puerta, por ejemplo. En cuanto a la dirección de $\vec{N}$, ésta es perpendicular al plano que forman los vectores $\overset{\rightarrow}{OP}$ y $\vec{f}$; y, el sentido de $\vec{N}$, obedece al convenio de que éste sea el mismo que el del sentido de avance de un tornillo con rosca a derechas al hacer girar $\overset{\rightarrow}{OP}$ hacia $\vec{f}$ por el camino angular más corto. También hay otras muchas magnitudes vectoriales en Física en cuya definición aparece la operación producto vectorial de otras magnitudes vectoriales. Además de la definición que acabamos de exponer, existe también otra definición equivalente, que se basa en las coordenadas de los vectores a la que podemos denominar definición analítica.

Vamos a exponer ahora esta otra definición de producto vectorial, basada en las coordenadas de los vectores. A continuación, presentaremos las propiedades que se desprenden de la misma y emplearemos las dos definiciones equivalentes en diversas aplicaciones de geometría.

Producto vectorial
Definición
El producto vectorial de dos vectores libres cualesquiera del espacio vectorial tridimensional $V$, $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{u}=(v_1,v_2,v_3)$, cuyas coordenadas vienen referidas a una base ortonormal $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$, viene dado por la aplicación $$\displaystyle V \times V \overset{\times}{\rightarrow} V \,:\, \vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix}u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}\,\vec{e_1}-\begin{vmatrix}u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix}\,\vec{e_2}+\begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}\,\vec{e_3}$$ que, para recordarla, podemos expresarlo de la forma $$\vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix}\vec{e_1} & \vec{e_2} & \vec{e_3} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$$

Propiedades:
i) $\vec{u}\times \vec{v}=-\vec{v}\times \vec{u}$ ( anticonmutativa )
ii) i) $\vec{u_1} \times (\vec{u_2}+\vec{u_3})=\vec{u_1} \times \vec{u_2}+\vec{u_1} \times \vec{u_3}$ ( distributiva del producto vectorial con respecto de la suma )
iii) i) $\lambda\,(\vec{u_1} \times \vec{u_2})=\lambda\,\vec{u_1} \times \vec{u_2}=\vec{u_1} \times \lambda\,\vec{u_2}$ ( asociativa del producto por escalares con respecto de la suma )
iv) $\langle \vec{u_1}\,,\,\vec{u_1} \times \vec{u_2}\rangle = \langle \vec{u_2}\,,\,\vec{u_1} \times \vec{u_2}\rangle$
v) Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores no nulos, entonces son linealmente dependientes si y sólo si $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{0}$



Ejemplo:
ENUNCIADO. Sean los vectores $\vec{u}=(-1,1,1)$ y $\vec{v}=(1,1,0)$ cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica $\mathcal{C}=\{\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)\}$, calcúlese el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$

SOLUCIÓN. $$\vec{u} \times \vec{v}= \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1& 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}=(-1,1,-1)$$

-oOo-
Observaciones:

(1) El vector $\vec{w}$ que resulta del producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ es ortogonal a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ y por tanto $\langle \vec{u}\,,\,\vec{w} \rangle = \langle \vec{v}\,,\,\vec{w} \rangle = 0$

(2) Decimos que dos ternas formadas por vectores linealmente independientes $(\vec{u_1},\vec{v_1},\vec{w_1})$ y $(\vec{u_2},\vec{v_2},\vec{w_2})$ tienen la misma orientación si el signo de los determinantes de la matrices cuadradas formadas por las coordenadas de los vectores de sendas ternas es el mismo.

Si $\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ es una base ortonormal, entonces la terna formada por $(\vec{u},\vec{v},\vec{u}\times \vec{v})$ tiene la misma orientación que la de dicha base.

(3) Desde luego, de la definición analítica de producto vectorial de $\vec{u} \times \vec{v}$, se demuestra que $\left\| \vec{u} \times \vec{v}\right\|=\left\| \vec{u}\right\|\,\left\| \vec{v}\right\|\,\sin \measuredangle ( \vec{u},\vec{v})$, luego el área del paralelogramo que configura la suma de los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es igual a $\left\| \vec{u} \times \vec{v}\right\|$; y, por tanto, el área de un triángulo que resulta de la mitad de dicho paralelogramo es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\| \vec{u} \times \vec{v}\right\|$

(4) $\vec{u} \times \vec{v}=\left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|\,\vec{n_1}$ donde $\vec{n_1}$ es el vector unitario que es perpendicular al plano que contiene a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ en el sentido de avance del tornillo que rota $\vec{u}$ hacia $\vec{v}$, esto es $\vec{n_1}=\dfrac{\vec{u} \times \vec{v}}{\left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|}$

(5) Los vectores $\vec{i}$, $\vec{j}$ y $\vec{k}$ de la base canónica verifican las siguientes igualdades:
$\vec{i} \times \vec{j}=\vec{k} \quad \quad \vec{j} \times \vec{i}=-\vec{k}$
$\vec{j} \times \vec{k}=\vec{i} \quad \quad \vec{k} \times \vec{j}=-\vec{i}$
$\vec{k} \times \vec{i}=\vec{j} \quad \quad \vec{i} \times \vec{k}=-\vec{j}$

(6) El producto vectorial no cumple la propiedad asociativa: $\vec{u} \times ( \vec{v} \times \vec{w} ) \neq (\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}$

Ejemplo de aplicación al cálculo del área de un paralelogramo:
ENUNCIADO. Calcúlese el área de un paralelogramo de vértices $A,B,C,D$ tal que $\overset{\rightarrow}{AB}=(1,3,1)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(2,1,-1)$ cuyas coordenadas vienen dadas con respecto a la base canónica.

SOLUCIÓN. El área pedida viene dada por $\left\|\overset{\rightarrow}{AB}\right|\cdot \left( \left\|\overset{\rightarrow}{AC}\right\|\cdot \sin\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC})\right)$ que coincide con el módulo de $\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{AC}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(-4,3,-5)$. Así pues $\text{Área}=\left\| (-4,3,-5) \right\| = \left| \sqrt{(-4)^2+3^2+(-5)^2} \right| = \left| \sqrt{50} \right| \; ( \text{unidades de longitud)}^2 $

Ejemplo de aplicación al cálculo del área de un triángulo:
ENUNCIADO. Calcúlese el área del triángulo de vértices $A,B,C$ tal que siendo $\overset{\rightarrow}{AB}=(1,3,1)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(2,1,-1)$ (las coordenadas vienen dadas con respecto a la base canónica), se tiene que $\overset{\rightarrow}{AC}+\overset{\rightarrow}{CB}+\overset{\rightarrow}{BA}=\vec{0}$

SOLUCIÓN. El área de dicho triángulo es igual a la mitad del área del paralelogramo del ejemplo anterior, luego es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left(
\left\|\overset{\rightarrow}{AB}\right|\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{AC}\right\|\cdot \sin\,\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC})\right)$ y por tanto es igual a la mitad del módulo de $\overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{AC}$ esto es $\dfrac{1}{2}\cdot \left| \sqrt{50} \right| \; ( \text{unidades de longitud)}^2 $

$\square$

Área de un paralelogramo ( aplicaciones del producto vectorial )

ENUNCIADO:
Los vectores $\vec{OA}=2\,\vec{i}+3\,\vec{j}+\vec{k}$ y $\vec{OC}=\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+\vec{k}$ son los vectores de posición del paralelogramo $OABC$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$. Calcular el área de dicho paralelogramo.


SOLUCIÓN:
$\text{Área}_{OABC}=\left\| \vec{OA} \times \vec{OB} \right\|$

El producto vectorial $\vec{OA} \times \vec{OB}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2&3 &1 \\
1& -1 &1
\end{vmatrix}=4\,\vec{i}+(-1)\,\vec{j}+(-5)\,\vec{k}$
y el de $\vec{OB} \times \vec{OA}$ es $- \left( \vec{OA} \times \vec{OB} \right) $

En cualquier caso, el módulo de uno u otro es
$$\left| \sqrt{4^2+(-1)^2+(-5)^2} \right|=\left| \sqrt{42}\right|$$
así, pues, $\text{Área}_{OABC}=\left| \sqrt{42} \right| \, \text{unidades de área}$

$\square$

[nota del autor]

Volumen de un paralelepípedo dado por los vectores ...

ENUNCIADO:
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.

SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$

Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):

$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$

con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$

Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$

$\square$

OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.

Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$

[nota del autor]