Determinación de un plano a partir de tres puntos dados del mismo que no estén alineados

Dados tres puntos de un plano $\pi$, $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$ y $C(x_C,y_C,z_C)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicho plano de forma algebraica, esto es, deseamos encontrar, de diversas maneras, unas ecuaciones que lo representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de dicho plano $\pi$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}$ se puede expresar como combinación lineal de $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$ ya que estos dos vectores son linealmente independientes al no estar alineados los puntos $A,B$ y $C$; existirán pues dos escalares, $\lambda$ y $\mu$, tales que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}+\mu\,\overset{\rightarrow}{AC}$$, que es una ecuación vectorial del plano, y también podemos expresar de la forma
$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})+$
      $+\mu\,(x_{C}-x_{A},y_{C}-y_{A},z_{C}-z_{A})$

Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $\pi$, puesto que dependen de los parámetro, $\lambda$ y $\mu$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A})+\mu\,(x_{C}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})+\mu\,(y_{C}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})+\mu\,(z_{C}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$.

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determinan los parámetros $\lambda$ y $\mu$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda+(x_{C}-x_{A})\,\mu = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda+(y_{C}-y_{A})\,\mu = x-x_A = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda+(z_{C}-z_{A})\,\mu = x-x_A = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $2$, ya que sólo pueden haber dos ecuaciones linealmente independientes; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{cc|c} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $2$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego el único menor complementario de orden $3$ ha de ser nulo, luego podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x_{C}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y_{C}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z_{C}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos una ecuación de tres incógnitas con una variable principal y dos variables secundarias, que también determina el plano $\pi$, y a las que denominamos ecuación cartesiana ( o implícita, o general ) de dicho plano, de la forma $$a\,x+b\,y+c\,z+d=0$$

$\square$

Determinación de una recta en el espacio vectorial afín R^3, dados dos puntos de la misma

Dados dos puntos de una recta $r$, $A(x_A,y_A,z_A)$ y $B(x_B,y_B,z_B)$ ( cuyas coordenadas vienen referidas a la base canónica del espacio vectorial afín $\mathbb{R}^3$, nos proponemos describir dicha recta de forma algebraica, esto es, encontrar de diversas maneras, unas ecuaciones que la representen.

Siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas, y $P(x,y,z)$ un punto cualquiera de la recta $r$, se cumple que $\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\overset{\rightarrow}{AP} $     (1), y teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP} \propto \overset{\rightarrow}{AB}$ -- ambos vectores tienen la misma dirección, luego son dependientes uno del otro --, existirá un escalar $\lambda$ tal que $\overset{\rightarrow}{AP} = \lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$, y, por consiguiente, podemos escribir (1) de la forma $$\overset{\rightarrow}{OP}=\overset{\rightarrow}{OA}+\lambda\,\overset{\rightarrow}{AB}$$ que es una ecuación vectorial de la recta, que, también podemos expresar de la forma $$(x,y,z)=(x_A,y_A,z_A)+\lambda\,(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A})$$ Esta ecuación vectorial da lugar a tres ecuaciones escalares a las que denominaremos ecuaciones paramétricas de $r$, puesto que dependen de un parámetro, $\lambda$: $$\left.\begin{matrix}x=x_A+\lambda\,(x_{B}-x_{A}) \\ y=y_A+\lambda\,(y_{B}-y_{A})\\ z=z_A+\lambda\,(z_{B}-z_{A})\end{matrix}\right\} \quad \quad (2)$$ Despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones anteriores, los segundos miembros deberán ser iguales, llegando así a una ecuación de la recta en forma continua $$r\equiv \dfrac{x-x_A}{x_{B}-x_{A}}=\dfrac{y-y_A}{y_{B}-y_{A}}=\dfrac{z-z_A}{z_{B}-z_{A}} \quad \quad(3)$$

El conjunto de estas tres ecuaciones (2) determina el parámetro $\lambda$, una vez fijado el punto $P$, luego bien podemos expresarlo de la forma
$$\left.\begin{matrix}(x_{B}-x_{A})\,\lambda = x-x_A \\ (y_{B}-y_{A})\,\lambda = y-y_A \\ (z_{B}-z_{A})\,\lambda = z-z_A \end{matrix}\right\}$$
el cual ha tener rango igual a $1$, ya que sólo puede haber una ecuación linealmente independiente; por consiguiente, la matriz ampliada de los coeficientes del sistema $$\left(\begin{array}{c|c} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{array}\right)$$ ha de tener rango igual a $1$ ( igual que la matriz de los coeficientes ), luego los menores complementarios han de ser nulos, así que del orlado de la matriz a partir de algún elemento no nulo de la primera columna, pongamos, sin pérdida de generalidad, que el de la primera fila y primera columna, podemos escribir que

$$\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ y_{B}-y_{A} & y-y_A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x_{B}-x_{A} & x-x_A \\ z_{B}-z_{A} & z-z_A \end{vmatrix}=0$$

De donde obtenemos un sistema de dos ecuaciones linealmente independientes, que también determinan la recta $r$, y a las que denominamos ecuaciones cartesianas ( o implícitas ) de dicha recta $$r\equiv \left\{\begin{matrix}(x_B-x_A)(y-y_A)-(y_B-y_A)(x-x_A)=0 \\ (x_B-x_A)(z-z_A)-(z_B-z_A)(x-x_A)=0 \end{matrix}\right. \quad \quad (4)$$ Estas dos ecuaciones han de corresponder a las de dos planos cuya intersección es precisamente la recta $r$.

Nota: Démonos cuenta de que estas mismas ecuaciones podemos escribirlas a partir de la doble igualdad de la ecuación de la recta en forma continua (3); y, ciertamente, podríamos escribir una tercera ecuación -- de igual manera que obtendríamos de igualar a cero el tercer menor complementario que se extrae de la matriz ampliada de los coeficientes --, $(y_B-y_A)(y-y_A)-(z_B-z_A)(z-z_A)=0$, pero ésta es una combinación lineal de las otras dos, y, por tanto aporta información redundante, pudiendo prescindir de ella. $\square$

Resumen de los resultados de incidencia de planos y rectas en el espacio vectorial afín tridimensional

PLANOS Y RECTAS. RELACIONES DE INCIDENCIA EN EL ESPACIO AFÍN TRIDIMENSIONAL $E_3$

1. INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS

Sean $\pi_1:\,a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $\pi_2:\,a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$. Estudiar la incidencia de dichos plano pasa analizar el sistema de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por las ecuaciones de sendos planos:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
\end{matrix}\right.$$
Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
\end{array}\right)$$

y de la matriz ampliada con el vector columna formado por los coeficientes de los términos independientes

$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
\end{array}\right)
$$

Entonces, $\pi_1 \cap \pi_2$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{una recta ( los planos son secantes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{el mismo plano ( planos coincidentes )} & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=1 \\
\text{ planos paralelos } & \text{si} & \text{rang}(A)=1 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\end{matrix}\right.$$

1.1 HAZ DE PLANOS
Los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ general una família de planos que denominamos haz de planos ( la denotamos por $\mathcal{F}$ ) y cuya ecuación depende de dos parámetros, $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, no simultáneamente nulos:
$$\mathcal{F}:\,\alpha\,(a_1\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1)+\beta\,(a_2\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2)=0$$
Dicho haz puede consistir en:
i) infinitos planos cuya intersección es una recta
ii) infinitos planos paralelos

2. INCIDENCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Sean una recta, $r$, que podemos expresar mediante la intersección de dos planos secantes, $a_{1}\,x+b_1\,y+c_1\,z+d_1=0$ y $a_{2}\,x+b_2\,y+c_2\,z+d_2=0$; y un plano $\pi:\,a_3\,x+b_3\,y+c_3\,z+d_3=0$.

Estudiaremos la incidencia entre este plano, $\pi$, y la recta, $r$, analizando el sistema de ecuaciones de ecuaciones, $AX=B$ ( ecuación matricial ), dado por:
$$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\,x&+&b_1\,y&+&c_1\,z&=-&d_1\\
a_{2}\,x&+&b_2\,y&+&c_2\,z&=&-d_2\\
a_{3}\,x&+&b_3\,y&+&c_3\,z&=&-d_3\\
\end{matrix}\right.$$

Del estudio del rango de la matriz de los coeficientes,

$$A=\left(\begin{array}{ccc}
a_1 &b_1 & c_1\\
a_2 &b_2 & c_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 \\
\end{array}\right)$$
y de la matriz ampliada de los coeficientes,
$$\widetilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}
a_1 &b_1 & c_1 & -d_1 \\
a_2 &b_2 & c_2 & -d_2 \\
a_3 &b_3 & c_3 & -d_3 \\
\end{array}\right)
$$

vemos que
$r \cap \pi$ da:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{un punto ( la recta corta al plano ) } & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\text{la propia recta, por contener}\,\pi\,\text{a}\,r\, & \text{si} & \text{rang}(A)=\text{rang}(\widetilde{A})=2 \\
\text{ intersección vacía:}\,r \parallel \pi & \text{si} & \text{rang}(A)=2 \; \text{y}\;\text{rang}(\widetilde{A})=3 \\
\end{matrix}\right.$$

3. INCIDENCIA ENTRE DOS RECTAS
Sean dos rectas, que, expresadas en forma vectorial ( dando un punto y un vector ) podemos escribir de la forma, $r:\,X=P+\lambda\,\vec{u}$ y $s:\,X=Q+\lambda\,\vec{v}$.

Podemos estudiar la incidencia mediante el análisis de rangos, de modo que dichas rectas:
$$\left\{\begin{matrix}
\text{ se cruzan pero no se cortan} & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 3 \\
\text{ se cortan } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son paralelas y distintas } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= 1\, \text{y}\, \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 2 & \\
\text{ son coincidentes } & \text{si} & \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v} \rbrace
= \text{rang}\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{PQ} \rbrace = 1 & \\
\end{matrix}\right.$$

$\square$

[nota del autor]

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]