Un ejercicio sobre distribuciones de probabilidad discretas

ENUNCIADO. Considérese la siguiente distribución de probabilidad discreta:

valor es de la variable aleatoria  |  probabilidad
----------------------------------------------------
                1                  |      0,05
                2                  |      0,3
                3                  |      0,4
                4                  |      0,2
                5                  |      0,05

Se pide:
a) Compruébese que la distribución está bien definida
b) Calcular $P\{X\le 3\}$
c) Calcular $P\{X \succ 2\})$
d) Calcular el valor de la media $\mu$
e) Calcular el valor de la desviación estándar $\sigma$

SOLUCIÓN.

a)
Veamos que se cumplen las condiciones para que la distribución de probabilidad esté bien definida:
i) $p_i \ge 0$ para todo valor de la variable aleatoria
ii) $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i\overset{\text{?}}{=}1$, en efecto $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i = 0,05+0,3+0,4+0,2+0,05 = 1$

b)
$P\{X\ge 3\}=P\{X = 1\}+P\{X = 2\}+P\{X = 3\}=$
                    $=0,05+0,3+0,4=$
                        $=0,65$

c)
$P\{X \succ 2\}=1-\left(P\{X=1\}+P\{X=2\}\right)=$
    $=1-(0,05+0,3)$
      $=0,65$


d)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_{i}\,p_{i} =$
                    $=1\cdot 0,05+2\cdot 0,3+3\cdot 0,4+4\cdot 0,2+5\cdot 0,05=$
                        $=2,9$

e)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,(x_{i}-\mu)^{2}\,p_i}\overset{\text{propiedad}}{=}\sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,\left(x^{2}_{i}\,p_{i}\right)-\mu^2}$
                    $=\sqrt{(1^2\cdot 0,05+2^2\cdot 0,3+3^2\cdot 0,4+4^2\cdot 0,2+5^2\cdot 0,05)-2,9^2}$
                        $\approx 0,9434$

$\square$