Cálculo de límites con indeterminaciones del tipo 1^\infty

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límte la expresión de la base de la potencia y la expresión del exponente nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^{\infty}$, que resolveremos empleando la siguiente propiedad $$\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{\Phi(x)}\right)^{\Phi(x)}=e$$

Procedemos a expresar convenientemente el argumento del límite, al objeto de aplicar esa propiedad. Dividiendo $x-2x^2+3$ entre $-2x^2+1$ obtenemos $C(x)=1$ y $R(x)=x+2$, por lo que podemos expresar la fracción impropia de la base de la potencia del argumento del límite de la forma $\dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}=1+\dfrac{x+2}{-2x^2+1}$, con lo cual
$\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}\right)^{(x+2)(x+1)/(-2x^2+1)}$.

Entonces $$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\left(1+\dfrac{1}{(-2x^2+1)/(x+2)}\right)^{\dfrac{-2x^2+1}{x+2}}=e$$ y, por otra parte,
$$\lim_{x\,\rightarrow\,+\infty}\,\dfrac{(x+2)(x+1)}{-2x^2+1}=-\dfrac{1}{2}$$

Así que aplicando la propiedad de la potencia de los límites llegamos a $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\infty}\,\left( \dfrac{x-2x^2+3}{-2x^2+1}\right)^{x+1}=e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$$
$\square$

Otro ejercicio de cálculo de límites

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $\infty^0$, por lo que procedemos a emplear la mimsa técnica que en el ejercicio anterior: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{cos(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\tan(x))^{\cos(x)})=\lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,(\ln\, (\tan(x))^{\cos(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\cos(x)\,\ln\,(\tan(x))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\ln\,\tan(x)}{1/\cos(x)}\overset{\dfrac{\infty}{\infty} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{(\ln\,\tan(x))'}{(1/\cos(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{((1/\tan(x))\cdot (1/\cos^{2}(x))}{(-1/cos^{2}(x)\cdot (-\sin(x))}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{1/\tan(x)}{\sin(x)}=$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pi/2}\,\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}=\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\tan(x))^{\cos(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$

Cálculo de límites. Manejando indeterminaciones del tipo 1^{\infty}

ENUNCIADO. Calcular el límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$$

SOLUCIÓN.

Procedimiento 1:
Al pasar al límite, $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3} = \displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,x/3}$, llegamos a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Como sabemos que este tipo de indeterminaciones suelen llevar a una potencia de base el número $e$, como resultado, podemos la siguiente técnica: designemos por $L$ al resultado del supuesto límite, $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=L$$ Considerando la función del argumento del límite, la denominamos $f(x)=\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}$ Sacando logaritmos neperianos en cada miembro de la igualdad, $$\ln\,\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x) =\ln\,L$$ y, por la propiedad del límite del logaritmo, esto es equivalente a $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x)) =\ln\,L$$ y denotando $$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln(f(x))$$ con lo cual $$L=e^{\ell}$$

Procedamos pues a calcular $\ell$:
$\ell=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{x}{3}\,\ln\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)\right)\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\frac{0}{0}}{=}$

$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})}{3/x}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{\left(\ln\,(\dfrac{2x-1}{2x})\right)'}{(3/x)'}=$

$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\dfrac{2x}{2x-1}\cdot \left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)'}{-3/x^2}=-\dfrac{1}{3}\,\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{x}{2x-1}=-\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
con lo cual $$L=e^{-1/6}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$$

Procedimiento 2:
Teniendo en cuenta que $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(1+\dfrac{1}{g(x)}\right)^{g(x)}=e$, procedemos a escribir el argumento del límite de modo que su forma se pueda asimilar a la de la propiedad que acabamos de reseñar. Entonces,
$\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{2x-1}{2x}-1\right)^{x/3}=\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{x/3}=$
$=\left(\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{\frac{1}{(-2x)}}\right)^{x/3}=\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)^{-\frac{1}{6}}$

Por consiguiente, $\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\dfrac{2x-1}{2x}\right)^{x/3}=\left(\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,\left(\left(1+\dfrac{1}{(-2x)}\right)^{-2x}\right)\right)^{\displaystyle \, \lim_{x \rightarrow \infty}\,-\frac{1}{6}}=e^{-\frac{1}{6}}=\dfrac{1}{e^{1/6}}=\dfrac{1}{\sqrt[6]{e}}$
$\square$

Aplicar la regla de L'Hôpital para calcular el siguiente límite ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el següent límit
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}$

Solució:
Passant al límit ens trobem amb una indeterminació del tipus zero partit per zero que tractarem fent ús de la regla de l'Hôpital repetidament:
      $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{x^2}{\sin^{2}\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(x^2)^{'}}{(\sin^{2}\,x)^{'}}=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{2\,\sin\,x\,\cos\,x}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2\,x}{\sin\,2\,x}=\big(\dfrac{0}{0}\big)=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{(2\,x)^{'}}{(\sin\,2\,x)^{'}}$
        $\displaystyle=\lim_{x \rightarrow 0}\, \dfrac{2}{2\,\cos\,2\,x}=\dfrac{2}{2\,\cos\,(2\cdot 0)}=\dfrac{2}{2\cdot \cos \,0}=\dfrac{2}{2\cdot 1}=1$
$\square$

[nota del autor]