Un ejercicio de integración y análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$, se pide:
a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva de $f(x)$
b) Encuéntrese un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analícese si dicho punto es extremo relativo.
c) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ y $x=e$

SOLUCIÓN.
a)
Si existen asíntotas horizontales, éstas tendran pendiente nula, por lo que podemos encontrarlas mediante el procedimiento más general de encontrar asíntotas oblicuas ( $y=mx+k$ [1]) con $m=0$. Sabemos que $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, haciendo tender la variable de control del límite a $+\infty$ por estar definida dicha función $f(x)$ en $(0,+\infty)$

Entonces, $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x^2}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, por lo que podemos asegurar que la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal ( no tiene asíntotas oblicuas con $m\neq 0$ ).

Una vez conocido el valor de $m$, el término independiente de [1] viene dado por el valor del límite $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(\dfrac{\ln\,x}{x}-0\cdot x)=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

Así pues, de [1], la ecuación de la única asíntota horizontal que tiene la función es $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
La condición necesaria que tiene que cumplir un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego procedamos a encontrar extremos relativos, pues en estos puntos la pendiente de la recta tangente a la curva de $f(x)=0$ ha de ser $0$. Calculemos la función derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\left( \dfrac{\ln\,x}{x} \right)'=\left( x^{-1}\,\ln\,x \right)'=-1\cdot x^{-2}\,\ln\,x+\dfrac{1}{x}\,x^{-1}=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}$$ y $$\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}=0\Leftrightarrow x^{*}=e$$ por consiguiente, en el punto $(e,f(e))$ la recta tangente a la curva $f(x)$ es paralela al eje de abscisas ( tiene pendiente nula ).

c) $\displaystyle \text{Área}=\left| \int_{r}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx \right|$, donde $r$ es la raíz de $f(x)$, cuyo valor es $r=1$, ya que $\dfrac{\ln\,x}{x}=0 \Leftrightarrow x=1$. La siguiente figura ilustra la situación:

Así pues $$\displaystyle \text{Área}=\int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx\overset{\text{Barrow}}{=}F(e)-F(1)\quad \quad [1]$$ donde una función primitiva $F(x)$ de $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$ la obtenemos del cálculo de la integral indefinida $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,\int\,d\left((\ln\,x)^2\right)^\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2+C$, con lo cual, tomando $F(x)=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2$, encontramos ( de [1] ) que el área pedida es igual a $$\displaystyle \int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,e)^2-\dfrac{1}{2}\,(\ln\,1)^2=\dfrac{1}{2}\cdot 1 -\dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{1}{2}\,(\text{unidades de longitud})^2$$
$\square$

Un ejercicio de análisis y representación gráfica de funciones

ENUNCIADO. Determínense las rectas asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de convexidad y concavidad de la función $$f(x)=\dfrac{4x^3}{x^2-1}$$



SOLUCIÓN.
Asíntotas verticales.
El denominador de la función se anula para $x=\pm 1$ y por tanto $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\, -1}\,f(x)=\lim_{x\,\rightarrow\, 1}\,f(x)=\pm \infty$, por lo que hay dos asíntotas verticales: $\text{a.v}_1\equiv x=-1$ y $\text{a.v}_1\equiv x=1$

Asíntotas oblicuas.
Determinamos la pendiente de éstas -- en el caso de que existan -- de la forma $\displaystyle m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=4$, con lo cual podemos afirmar que no hay asíntotas horizontales, por ser $m\neq 0$; veamos ahora cuál es el valor de la ordenada en el origen: $m=\lim_{ x\, \rightarrow\, \infty}\,(f(x)-4x)=0$, luego hay una sóla asíntota oblicua: $\text{a.o}\equiv y=4x$. Las tres asíntotas encontradas se representan en la figura de abajo en líneas discontinuas.

Extremos relativos.
Imponiendo la condición necesaria, $f'(x)=0$, encontramos $$\dfrac{4x^2\,(x^2-3)}{(x^2-1)^2}=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{1}^{*}=-\sqrt{3}\Rightarrow y_{1}^{*}=-6\,\sqrt{3}\\ x_{2}^{*}=0 \Rightarrow y_{2}^{*}=0 \\x_{3}^{*}=\sqrt{3} \Rightarrow y_{3}^{*}=6\,\sqrt{3}\end{matrix}\right.$$

Teniendo en cuenta que $f''(x)=\dfrac{8x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$, vemos que $f''(-\sqrt{3})\prec 0$ por lo que podemos afirmar que $x_{1}^{*}=-\sqrt{3}$ es la abscisa de un máximo local; $f''(\sqrt{3})\succ 0$, luego $x_{3}^{*}=\sqrt{3}$ es la abscisa de un mínimo local; y, como por otra parte, $f''(0)=0$, el criterio del signo de la segunda derivada no decide, sin embargo, podemos comprobar que a la izquierda y a la derecha de $0$, $f'(0)\prec 0$ con lo cual $x_{2}^{*}=0$ es un punto de inflexión con primera derivada nula, lo cual viene corroborado por $f''(0)=0$. Con todo ello, ya podemos realizar una gráfica esquemática de la gráfica de la función:

de lo cual se deduce que hay dos intervalos de concavidad: $(-\infty, -1)$ y $(0,1)$, y dos intervalos de convexidad: $(-1,0)$ y $(1,+\infty)$.

Análisis y representación de funciones

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^3+x+2$. Se´ pide:ç
a) Hállense los máximos y mínimos locales de dicha función
b) Hállense los puntos de inflexión
c) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
d) Hágase un esbozo de la gráfica de la función $f(x)$ así como de la recta tangente pedida en el apartado anterior

SOLUCIÓN.
a) El conjunto de abscisas de los extremos relativos: $\{x \in \text{Dom}\,f:f'(x)=0\}$
Impongamos la condición necesaria para que $x\in \text{Dom}\,f$ sea la abscisa de un extremo relativo $$f'(x)=0$$ esto es $$-3x^2+1=0 \Leftrightarrow x \in \{ -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \, , \, \dfrac{1}{ |\sqrt{3}|} \}$$

A continuación, procedemos a ver cuál es la naturaleza de dichos extremos relativos; para ello, emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-6x$, en cada uno de dichos puntos. Es evidente que $f''( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \succ 0$, luego hay un mínimo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx -0,6$, siendo la ordenada de dicho punto $y_{1}^{*}\equiv f(x_{1}^{*}) = 2- \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 1,6$. Por otra parte, como es claro que $f''( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \prec 0$, hay un máximo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx 0,6$, y el valor de la ordenada que le corresponde es ordenada de dicho punto $y_{2}^{*}\equiv f(x_{2}^{*}) = 2+ \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 2,4$

b)
Para encontrar los puntos de inflexión, imponemos la condición necesaria: $f''(x)=0$, que en el caso de la función concreta en este problema es $-6x=0$. Así pues $x_{p.i.}=0$, luego $y_{p.i.}\equiv f(x_{p.i.})=f(0)=2$

c)
La ecuación de la recta tangente es $r.t.\equiv y=mx+k$, donde la pendiente $m$ es el valor de la función derivada $f'(x)=-3x^2+1$ en el punto pedido, $x=0$; esto es $f'(0)=0+1=1$. Así pues $r.t.\equiv y=x+k$. Falta ahora calcular el valor de $k$, que determinaremos teniendo en cuenta que, en $x=0$, las ordenadas de la función $f$ y de la recta han de ser iguales, por lo que $f(0)=0+k$ y por tanto $k=2$. En consecuencia, la recta tangente pedida es $r.t.\equiv y=x+2$

d)
Reuniendo los elementos de análisis que hemos encontrado, y teniendo en cuenta además que, por el teorema de Bolzano, $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1,2]\subset \mathbb{R}$, pues los valores de función cambian de signo en los extremos del mismo, $f(1)\succ 0$ y $f(2)\prec 0$; por lo demás, sólo puede haber una raíz, pues no hemos encontrado otro mínimo local a la derecha de $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$. Ésto basta para dibujar el siguiente esbozo:

$\square$

Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización.

ENUNCIADO. El número de individuos ( expresado en millares ) en función del tiempo ( expresado en horas ) de una población bacteriana se describe mediante la siguiente función $$N(t)=2t\,(t-10)^2+50$$ Se pide:
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.

SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares

b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$

Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización de funciones.

ENUNCIADO. Determínise el punto de la curva asociada a la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( se toma el valor positivo de la raíz cuadrada ) más próximo al punto $A(2,0)$

SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$

Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$

Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.

Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
$\square$

Optimización. Extremos relativos de funciones.

ENUNCIADO. Considérese un sector circular, de radio $r$, cuya longitud de arco viene fijada por la cantidad $\ell$, y tal que el perímetro de la figura así formada sea igual a $100$ milímetros. Para qué valor de $r$ el área es máxima ?

SOLUCIÓN. Procedemos a encontrar la función $f(r)$ que proporcione el valor del área del sector circular en función de la variable $r$. Como el área de un círculo de radio $r$ es $\pi\,r^2$, el área $\mathcal{A}$ del sector circular cuya longitud de arco sea $\ell$ se obtiene planteando una simple proporción directa $$\dfrac{\mathcal{A}}{\ell}=\dfrac{\pi\,r^2}{2\,\pi\,r} \Rightarrow \mathcal{A}=\dfrac{\ell\,r}{2}\quad \quad (1)$$ Por otra parte, la ligazón entre $\ell$ y $r$ viene determinada por la condición del problema $$100=2r+\ell$$ y por tanto $$\ell=2\,(50-r)$$ Así pues, sustituyendo en (1) y simplificando llegamos a $$\mathcal{A}\rightarrow f(r)=r\,(50-r)$$
Imponiendo la condición necesaria para encontrar extremos relativos $$f'(r)=0$$ vemos que $$1\cdot (50-r)-r=0$$ luego $$r^{*}=\dfrac{50}{2}=25\,\text{mm}$$ abscisa que corresponde a un máximo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, $$f''(25)=-2 \prec 0$$
$\square$

Extremos relativos de una función. Aplicaciones de la derivada. Optimización.