Propiedades de los determinantes. Determinante de la matriz inversa.

ENUNCIADO. Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ regular ( inversible ). Demuéstrese que $$\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$$
SOLUCIÓN. Sabemos que $I=AA^{-1}=A^{-1}A$, donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$. Por otra parte, es sabido que dadas dos matrices cuadradas de orden $n$, $A$ y $B$, $\text{det}(AB)=\text{det}(A)\cdot \text{det}(B)$. Entonces, $1=\text{det}(I)=\text{det}(AA^{-1})=\text{det}(A)\text{det}(A^{-1})$, luego $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$
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