Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Una oficina bancaria dispone de dos sistemas de alarma, $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$, que son independientes. La eficacia del sistema $\mathcal{A}$ es del $85\,\%$ y la del sistema $\mathcal{B}$ del $92\,\%$. Calcular la probabilidad de que, en caso de peligro:
a) Funcione al menos una de los dos sistemas de alarma
b) Funcionen ambos sistemas de alarma
c) Funcione un sólo sistema de alarma
d) No funcione ningún sistema de alarma

SOLUCIONES. Denotemos por $A$ el suceso funciona el sistema de alarma $\mathcal{A}$, y por $B$, funciona el sistema de alarma $\mathcal{B}$. Las probabilidades de los sucesos contrarios son $P(\bar{A})=1-0,85$ y $P(\bar{B})=1-0,92$.

a)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A\cap \bar{B}) \cup (A\cap B)\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A\cap \bar{B})+P(A\cap B)\overset{(2)}{=}$
  $=P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})+P(A)\cdot P(B)=$
    $=0,92\cdot (1-0,85)+0,85\cdot (1-0,92)+0,92\cdot 0,85$
      $=0,988$

Nota: Otra forma de calcularlo es la siguiente
P("funcione algún sistema")=1-P("no funcione ningún sistema")=$1-P(\bar{A} \cap \bar{B})=1-(1-0,85)\cdot (1-0,92)=0,988$


Aclaraciones:
(1) $(A\cap \bar{B}) \cap (\bar{A}\cap B) = \emptyset$, $(A\cap \bar{B}) \cap (A \cap B) = \emptyset$, $(\bar{A}\cap B) \cap (A \cap B) = \emptyset$
(2) $A$ y $B$ son independientes, luego $\bar{A}$ y $B$; $\bar{A}$ y $\bar{B}$; y, $A$ y $\bar{B}$ también lo son

b)
$P(A \cap B)\overset{(2)}{=} P(A)\cdot P(B)=0,85\cdot 0,92=0,782$

c)
$P\left((\bar{A}\cap B)\cup (A \cap \bar{B})\right)\overset{(1)}{=}P(\bar{A}\cap B)+P(A \cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(B)+P(A)\cdot P(\bar{B})=$
  $=(1-0,85)\cdot 0,92+(1-0,92)\cdot 0,85$
    $=0,206$

d)
P("no funcione ningún sistema")=1-P("funcione algún sistema")$\overset{\text{resultado (a)}}{=}1-0,988=0,012$

Nota:
También se puede calcular así:
P("no funcione ningún sistema")=
    $=P(\bar{A}\cap \bar{B})\overset{(2)}{=}P(\bar{A})\cdot P(\bar{B})=(1-0,85)\cdot(1-0,92)=0,012$
$\square$