Cálculo de probabilidades. Coincidencias.

ENUNCIADO. Se han reunido $6$ personas que han nacido en el mes de mayo ( el mes de mayo tiene $30$ días ). Calcular la probabilidad de que:
a) Las seis personas hayan nacido en días distintos
b) Al menos dos hayan nacido el mismo día
b) Las seis personas hayan nacido el mismo día

SOLUCIÓN.
a)
Empleando la probabilidad compuesta, la probabilidad de que las $6$ personas hayan nacido en días distintos es $$\dfrac{30}{30}\cdot \dfrac{30-1}{30} \cdot \dfrac{30-2}{30} \cdot \dfrac{30-3}{30} \cdot \dfrac{30-4}{30} \cdot \dfrac{30-5}{30} = \dfrac{2639}{4500} \approx 0,5864 $$

Nota: Otra forma de calcularlo consiste en emplear la combinatoria y la regla de Laplace $\dfrac{\text{V}_{30,6}}{\text{VR}_{30,6}}= \dfrac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27 \cdot 26 \cdot 25}{30^6}=\dfrac{2639}{4500}$

b)
El suceso contrario de nadie haya nacido el mismo día que los demás ( calculado en el apartado anterior ) es el de que al menos dos personas hayan nacido el mismo día, en consecuencia la probabilidad de que al menos dos personas coincidan en el día es $$1- \dfrac{2639}{4500}=\dfrac{1861}{4500} \approx 0,4136$$

c)
Desde luego, hay $30$ posibilidades ($6$-tuplas) de escoger el día que coincidan en el nacimiento, y $\text{VR}_{30,6}=30^6$   $6$-tuplas que describen todas las posibilidades, luego por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $$\dfrac{30}{30^6}=\dfrac{1}{30^5} \approx 4,1\times 10^{-8}$$

Nota:
El conjunto de 6-tuplas que describen los días en los que nacen las 6 personas tiene $30^6$ elementos

[P1| P2| P3| P4| P5|P6]
-----------------------
[1 | 1 | 1 | 1 | 1 |1 ]
[1 | 2 | 2 | 1 | 3 |1 ]
[10|28 | 1 | 1 |30 |11]
...

$\square$