Cálculos con la distribución binomial

ENUNCIADO. Un $5\,\%$ de las piezas mecanizadas en una cierta máquina herramienta resultan ser defectuosas. Calcúlese la probabilidad de que eligiendo al azar $20$ de las piezas mecanizadas aparezcan:
a) $3$ piezas defectuosas, exactamente
b) A lo sumo $3$ piezas defectuosas

SOLUCIÓN.
La variable "número de piezas defectuosas", $X$, toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,20\}$ y sigue una distribución binomial $B(n,p)$ con $n=20$ y $p=\dfrac{1}{20}$ ( con $q\equiv 1-p=\dfrac{19}{20}$ )

Entonces:
a) $$\displaystyle P\{X=3\}=\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'0596$$

b)
$$\displaystyle P\{X\le 3\}=\sum_{i=0}^{3}\binom{20}{i}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{i}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-i}=$$
  $\displaystyle=\binom{20}{0}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{0}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-0}+\binom{20}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{1}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-1}+$
          $\displaystyle+\binom{20}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-2}+\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'9841$

$\square$