Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcúlese el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}$$

SOLUCIÓN. Al pasar al límite, nos encontramos con una indeterminación del tipo $1^\infty$, por lo que procedemos a emplear la técnica habitual para resolverla: sea $L$ el valor de dicho límite ( suponemos que existe ) $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)}=L$$ entonces, sacando logaritmos en ambos miembros de la igualdad anterior, $$\displaystyle \ln\,(\lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\ln\,L$$ con lo cual $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})} \quad \quad (1)$$ Procedamos ahora a calcular $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ Sabemos que ( propiedad ) $$\displaystyle \ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})=\lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})$$ lo cual se desarrolla del siguiente modo $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\ln\, (\cos(x))^{1/\sin(x)})=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\dfrac{1}{\sin(x)}\ln\, (\cos(x)))=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{\ln\,\cos(x)}{\sin(x)}\overset{\dfrac{0}{0} \rightarrow \text{l'Hôpital}}{=}$$
$$=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(\ln\,\cos(x))'}{(\sin(x))'}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)/\cos(x)}{\cos(x)}=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,\dfrac{(-\sin(x)}{\cos^{2}(x)}=-\dfrac{0}{1}=0$$ Así pues, sustituyendo en (1) obtenemos el siguiente resultado $$\displaystyle L=e^{\ln\,( \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\,(\cos(x))^{1/\sin(x)})}=e^0=1$$
$\square$