ENUNCIADO. Se consideran las rectas $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,1,0)$ y $s\equiv (x,y,z)=(2,0,1)+\mu\,(-1,0,1)$. Se pide:
a) Determínese la recta $t$ perpendicular a las rectas $r$ y $s$
b) Calcúlense las coordenadas de los puntos de intersección de $r$ con $t$, y de $s$ con $t$
SOLUCIÓN. Sea $\pi_{rt}$ el plano que contiene a $r$ y a $t$, y $\pi_{st}$ el plano que contiene a las rectas $s$ y $t$. Así, $t$ vendrá dada por la intersección de estos dos planos. Vamos a hallar, por tanto, las ecuaciones generales de sendos planos; éstas constituirán las ecuaciones cartesianas de la recta $t$.
Recordemos que un plano viene determinado por un vector perpendicular al mismo y un punto de dicho plano.
Consideremos un vector en la dirección de $t$, $\vec{u}_t$, tal como $\vec{u}_r \times \vec{u}_s$ (por ser $t$ perpendicular a $r$ y a $s$), siendo $\vec{u}_r$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{u}_s$ un vector en la dirección de $s$. Una vez conocido $\vec{u}_t$, y dadas las condiciones de perpendicularidad, un vector característico de $\pi_{rt}$ es $\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r$,y un vector característico de $\pi_{st}$ es $\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s$
Así $\vec{u}_t:=\vec{u}_r \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=(1,-1,1)$
---
Nota: Recordemos que $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica.
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con lo cual,
$\vec{n}_{\pi_{rt}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_r=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=(-1,1,2)$, luego $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z+D_{rt}=0 \quad \quad (1)$
y
$\vec{n}_{\pi_{st}}:=\vec{u}_t \times \vec{u}_s=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&1\\-1&0&1\end{vmatrix}=(-1,-2,-1)$, luego $\pi_{st}\equiv -x-2y-z+D_{st}= \quad \quad (2)$
Entonces, teniendo en cuenta que $A_{r}(0,1,0)$ es un punto de $r$ y por tanto de $\pi_{rt}$, determinamos el valor de $D_{rt}$ sustituyendo las coordenas del punto en (1); despejando de $0+1+0+D_{rt}=0$, obteniendo $D_{rt}=-1$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{rt}$ es $\pi_{rt}\equiv -x+y+2z-1=0$.
De manera análoga, teniendo en cuenta que $A_{s}(2,0,1)$ es un punto de $s$ y por tanto de $\pi_{st}$, determinamos el valor de $D_{st}$ sustituyendo las coordenas del punto en (2); despejando de $-2+0-1+D_{st}=0$, obteniendo $D_{st}=3$, y, por tanto, la ecuación general del plano $pi_{st}$ es $\pi_{st}\equiv x+2y+z-3=0$
En consecuencia, las ecuaciones cartesianas de la recta $t$ pedida son: $$t\equiv \left\{\begin{matrix}-x+y+2z-1=0 \\ x+2y+z-3=0\end{matrix}\right.$$
b)
Las ecuaciones cartesianas de $r$ las obtenemos despejando el parámetros de las ecuaciones paramétricas que pueden escribirse fácilmente a partir de la ecuación vectorial dada en el enunciado: $\lambda=x=y-1$ y $z=0$, luego $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\z=0\end{matrix}\right.$$
De manera análoga, obtenemos las ecuaciones cartesianas de $s$: $\mu=2-x=z-1$ y $y=0$, luego $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x+z=3\\y=0\end{matrix}\right.$$
Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $r$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $r$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&-&y&&=&-1 \\ &&&z&=&0 \end{matrix}\right.$$ y puede comprobarse que su solución es el punto $P_{r \cap t}=(1/3,4/3,0)$
Las coordenadas del punto de intersección de $t$ y $s$ corresponden a la solución del siguiente sistema compatible determinado, formado por las ecuaciones cartesians de $t$ y por las ecuaciones cartesians de $s$: $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&2z&=&1 \\ x&+&2y&z&=&3 \\ x&&&z&=&3 \\ &&y&&=&0 \end{matrix}\right.$$ obteniéndose que su solución es el punto $P_{s \cap t}=(4/3,0,5/3)$
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martes, 29 de enero de 2019
Determinación de una recta que pasa por un punto dado y que es perpendicular a una cierta recta
ENUNCIADO. Se considera la recta $r\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,2,1)$. Determínese la ecuación de la recta $s$ que pasa por el punto $P(1,-1,1)$ y es perpendicular a $r$.
SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$ que contiene a $s$ y que, por las condiciones del enunciado, ha de ser perpendicular a $r$. Entonces, siendo $\vec{u}_r:=(1,2,1)$ un vector director de $r$, ha de cumplirse como condición necesaria que $\langle \overset{\rightarrow}{PX},\vec{u}_r\rangle =0$, con lo cual $\langle (x-1,y-(-1),z-1),(1,2,1)\rangle =0$ de donde se desprende que $x+2y+z=0$, que es la ecuación de dicho plano $\pi$.
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Observación: También podemos obtener la ecuación del plano $\pi$ montando directamente la ecuación general del mismo $Ax+By+Cz+D=0$, ya que los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$ se corresponden con las coordenadas de un vector perpendicular al mismo, como puede ser un vector en la dirección de $r$ ( ya que $r$ es perpendicular a $\pi$ ); en nuestro caso, $A=1$, $B=2$ y $C=1$. El valor del coeficiente $D$ lo calculamos a partir del punto $P(1,-1,1)$ que forma parte del plano, y, por tanto sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de dicho plano: $1.1+2\cdot (-1)+1\cdot 1+D=0$, por lo que $D=0$; en consecuencia, la ecuación general del plano queda $x+2y+z=0$
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La determinación de la recta pedida $s$ requiere conocer un punto de la misma -- ya lo tenemos: $P(1,-1,1)$ -- y un vector que tenga su misma dirección, llamémosle $\vec{u}_s$, para el cual podemos tomar $\overset{\rightarrow}{PI}$ o bien un vector linealmente dependiente con éste, siendo $I$ el punto de intersección del plano $\pi$ ( que contiene a $s$ ) y de la recta $r$.
Procedemos pues a calcular las coordenadas de dicho punto $I$. Para ello, tenemos que escribir las ecuaciones cartesianas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$, y despejando el parámetro, obtenemos $\left\{\begin{matrix}\lambda=x \\ \lambda = \dfrac{y-1}{2} \\ \lambda =z \end{matrix}\right.$, y, de éstas igualdades llegamos a
$$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=z \\ y-2z=1 \end{matrix}\right.$$
Las coordenadas de $I$ han de ser la solución del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones cartesianas de la recta $r$ ( que acabamos de hallar ) y la ecuación general del plano $\pi$, esto es $$I \equiv \left\{\begin{matrix}x+2y+z=0 \\ x=z \\ y-2z =1\end{matrix}\right.$$ sistema que resolvemos sin dificultad, obteniendo $I(-1/3,1/3,-1/3)$
Entonces $\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{OI}-\overset{\rightarrow}{OP}=(-1/3-1,1/3-(-1),-1/3-1)=(-4/3,4/3,-4/3)$ que es linealmente dependiente con $(-1,1,-1)$, luego podemos escribir $\vec{u}_s:=(-1,1,-1)$
Finalmente, ya podemos expresar la ecuación de la recta pedida $s$ en forma vectorial: $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\mu\,\vec{u}_3$, siendo ahora $X$ un punto genérico de dicha recta. Así, $$s\equiv (x,y,z)=(1,-1,1)+\mu\,(-1,1,1)$$
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SOLUCIÓN. Sea $X(x,y,z)$ un punto genérico del plano $\pi$ que contiene a $s$ y que, por las condiciones del enunciado, ha de ser perpendicular a $r$. Entonces, siendo $\vec{u}_r:=(1,2,1)$ un vector director de $r$, ha de cumplirse como condición necesaria que $\langle \overset{\rightarrow}{PX},\vec{u}_r\rangle =0$, con lo cual $\langle (x-1,y-(-1),z-1),(1,2,1)\rangle =0$ de donde se desprende que $x+2y+z=0$, que es la ecuación de dicho plano $\pi$.
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Observación: También podemos obtener la ecuación del plano $\pi$ montando directamente la ecuación general del mismo $Ax+By+Cz+D=0$, ya que los valores de los coeficientes $A,B$ y $C$ se corresponden con las coordenadas de un vector perpendicular al mismo, como puede ser un vector en la dirección de $r$ ( ya que $r$ es perpendicular a $\pi$ ); en nuestro caso, $A=1$, $B=2$ y $C=1$. El valor del coeficiente $D$ lo calculamos a partir del punto $P(1,-1,1)$ que forma parte del plano, y, por tanto sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de dicho plano: $1.1+2\cdot (-1)+1\cdot 1+D=0$, por lo que $D=0$; en consecuencia, la ecuación general del plano queda $x+2y+z=0$
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La determinación de la recta pedida $s$ requiere conocer un punto de la misma -- ya lo tenemos: $P(1,-1,1)$ -- y un vector que tenga su misma dirección, llamémosle $\vec{u}_s$, para el cual podemos tomar $\overset{\rightarrow}{PI}$ o bien un vector linealmente dependiente con éste, siendo $I$ el punto de intersección del plano $\pi$ ( que contiene a $s$ ) y de la recta $r$.
Procedemos pues a calcular las coordenadas de dicho punto $I$. Para ello, tenemos que escribir las ecuaciones cartesianas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$, y despejando el parámetro, obtenemos $\left\{\begin{matrix}\lambda=x \\ \lambda = \dfrac{y-1}{2} \\ \lambda =z \end{matrix}\right.$, y, de éstas igualdades llegamos a
$$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=z \\ y-2z=1 \end{matrix}\right.$$
Las coordenadas de $I$ han de ser la solución del sistema de ecuaciones formado por las dos ecuaciones cartesianas de la recta $r$ ( que acabamos de hallar ) y la ecuación general del plano $\pi$, esto es $$I \equiv \left\{\begin{matrix}x+2y+z=0 \\ x=z \\ y-2z =1\end{matrix}\right.$$ sistema que resolvemos sin dificultad, obteniendo $I(-1/3,1/3,-1/3)$
Entonces $\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{OI}-\overset{\rightarrow}{OP}=(-1/3-1,1/3-(-1),-1/3-1)=(-4/3,4/3,-4/3)$ que es linealmente dependiente con $(-1,1,-1)$, luego podemos escribir $\vec{u}_s:=(-1,1,-1)$
Finalmente, ya podemos expresar la ecuación de la recta pedida $s$ en forma vectorial: $\overset{\rightarrow}{OX}=\overset{\rightarrow}{OP}+\mu\,\vec{u}_3$, siendo ahora $X$ un punto genérico de dicha recta. Así, $$s\equiv (x,y,z)=(1,-1,1)+\mu\,(-1,1,1)$$
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martes, 15 de mayo de 2018
Un ejercicio sobre el espacio vectorial euclídeo tridimensional
ENUNCIADO. Dado el punto $P(0,1,1)$ y la recta $$r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{-1} $$
a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$
SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.
Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$
De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$
Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$
Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$
b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
$=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$
Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$
Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$
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a) Determínense las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto a $r$
b) Calcúlese la distancia euclídea entre $P$ y $r$
SOLUCIÓN.
a) Sea el plano $\pi$ perpendicular a $r$ tal que $P \in \pi$. Entonces, si $I = r \cap \pi$ y $P'$ es el punto simétrico de $P$ con respecto de $r$ se cumplirá la siguiente igualdad vectorial $$2\,\overset{\rightarrow}{PI}=\overset{\rightarrow}{PP'}$$ esto es $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (x_I-x_P)+x_P \\ y_{P'}=2\cdot (y_I-y_P)+y_P \\ z_{P'}=2\cdot (z_I-z_P)+z_P\end{matrix}\right.\quad \quad (1)$$ Necesitamos, por tanto, calcular las coordenadas de $I$, que es lo que haremos a continuación.
Al ser $\pi \perp r$, el vector director $\vec{u}=(2,1,-1)$ de $r$ se puede tomar como vector característico del plano $\pi$, con lo cual la ecuación general de dicho plano se escribe $2x+y-z+D=0$, y, para determinar $D$, tendremos en cuenta que $P \in \pi$, con lo cual se cumplirá que $2\cdot 0+1-1+D=0$, luego $D=0$ y, por consiguiente, la ecuación del plano es $\pi \equiv 2x+y-z=0$
De la ecuación de la recta $r$ en forma continua, escribimos las ecuaciones implícitas de la misma $$r\equiv \left\{\begin{matrix}\dfrac{x-1}{2}=y+1 \\ \\ \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{z}{-1}\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix} x-2y=3\\x+2z=1 \end{matrix}\right. $$
Por tanto las coordenadas del punto $I=\pi\cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$I\equiv \left\{\begin{matrix}2x&+&y&-&z&=0\\x&-&2y&&&=3\\ x&&&+&2z&=1\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=2/3\\&&y&&&=-7/6\\ &&&+&z&=1/6\end{matrix}\right.$$
Y, de (1), $$P' \equiv \left\{\begin{matrix}x_{P'}=2\cdot (2/3-0)+0=4/3 \\ y_{P'}=2\cdot (-7/6-1)+1=-10/3 \\ z_{P'}=2\cdot (1/6-1)+1=-2/3\end{matrix}\right.$$
b) Como la recta que contiene a $P$, $I$ y $P'$ es perpendicular a $r$ se tiene que $d(P,r)=\left\|\overset{\rightarrow}{PI}\right\|=\left|\sqrt{(x_I-x_P)^2+(y_I-y_P)^2+(z_I-z_P)^2}\right|$, luego $d(P,r)=\left|\sqrt{(2/3-0)^2+(-7/6-1)^2+(1/6-1)^2}\right|$
$=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\,\text{unidades de longitud}$
Nota. De no haber calculado previamente las coordenadas del punto $I=\pi \cap r$, también puede obtenerse la distancia pedida $d(P,r)$ mediante este otro procedimiento que hemos empleado ya muchas veces:
Sea $A$ un punto de $r$, pongamos que $A(1,-1,0)$ ( démonos cuenta de que sus coordenadas satisfacen la ecuación en forma continua de $r$ ), y situemos un vector de la recta $r$ con origen en $A$, por ejemplo $\vec{u}=(2,1,-1)$. Entonces el área del triángulo de vértices: $A$,$P$ y el extremo de $\vec{u}$ es igual a $\dfrac{1}{2}\,\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|$, que, por otra parte, también es iguala $\dfrac{1}{2}\,\left|\vec{u}\right\|\cdot d(P,r)$, con lo cual $$d(P,r)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left|\vec{u}\right\|}$$
Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{AP}=(0-1,1-(-1),1-0)=(-1,2,1)$, vemos que $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-1\\-1&2&1\end{vmatrix}=3\,\vec{i}-\vec{j}+5\,\vec{k}=(3,-1,5) \rightarrow $$\left|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left|\sqrt{35}\right|. Por otra parte, el módulo de $\vec{u}$ es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$, luego $$d(P,r)=\left|\dfrac{35}{6}\right|=\dfrac{\left|\sqrt{210}\right|}{6}\, \text{unidades de longitud}$$
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