Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales

ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$

SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$

$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$

Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.

b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$

$\square$