Cálculo del área de una región del plano delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+2x^2-x-2$ y $g(x)=x+2$


SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3+2x^2-2x-4=0$$ esto es $$(x-(-2))(x-(-|\sqrt{2}|))(x-|\sqrt{2}|)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-2 \\ x_2=-|\sqrt{2}| \\ x_3=|\sqrt{2}| \end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-2}^{-|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|+\left| \int_{-|\sqrt{2}|}^{|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|$$ Una función primitiva asociada a la función $f(x)-g(x)=x^3+2x^2-2x-4$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{2}{3}\,x^3-x^2-4x$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left|F(-2)-F(-|\sqrt{2}|)\right|+\left|F(|\sqrt{2}|)-F(-|\sqrt{2}|)\right|=$
      $\ldots=\dfrac{24\,|\sqrt{2}|-11}{3}\,\text{unidades de área}$
$\square$